Consideriamo per ora solo equazioni ad una incognita, indicata con qualche lettera, che può essere x, ma può anche essere diversa.

    Una equazione è un'uguaglianza tra due espressioni matematiche che contengono l'incognita (magari in diversi posti), così come altri numeri noti. "Risolvere l'equazione" significa trovare quale valore dell'incognita verifica l'uguaglianza. Se (come spesso accade) l'equazione scaturisce da un calcolo ingegneristico o scientifico, la sua soluzione allora indica cosa ci si deve aspettare dal progetto, esperimento o osservazione.

    Una formula, al contrario, è un'uguaglianza tra due espressioni matematiche, che contengono due o più incognite, e magari anche altri numeri i cui valori sono dati.

    Di per sé una formula non "ha una soluzione". Non è un rompicapo con una determinata soluzione che deve essere trovata, ma esprime una relazione tra le incognite. Possono esistere molti differenti valori delle incognite, ognuno dei quali permette di risolverlo.

    Tuttavia, se ci vengono dati i valori di tutte tranne una incognita, ciò che resta è un'equazione per l'incognita rimasta, che può quindi essere risolta.

Tutto questo è chiarito meglio con degli esempi

Esempi

Esempio (1)

    Il modulo di imposta sul reddito per il mio stato del Maryland mi dice che se i miei guadagni nel corso dell'anno sono stati E dollari (corretti per le esenzioni, correzioni e aggiustamenti fiscali diversi), e l'imposta sul reddito del mio stato per l'anno è di T dollari, allora (con * che indica la moltiplicazione)

    Quanto sopra è una formula, e non ha un'unica soluzione. Ogni valore di E dà un valore diverso di T. Una volta che E è dato, questa diventa un tipo di equazione piuttosto semplice, e T viene trovato immediatamente.

    In ciò che segue usiamo di nuovo la notazione algebrica, per la quale le espressioni che si toccano si intendono moltiplicate. Allora il simbolo * non è più necessario, e la formula diventa

    Due cose da notare. In primo luogo, ormai spesso indichiamo le incognite, non con x e y, ma con lettere che contengono indizi su ciò che rappresentano. Come ad esempio "E" per "guadagni" (Earnings in inglese) e "T" per "tassa".

    In secondo luogo, tutti i trucchi utilizzati per modificare le equazioni da una forma all'altra possono essere utilizzati per cambiare il modo in cui una formula può essere scritta. Supponiamo di conoscere le tasse T di una persona e di voler ricavare i guadagni E.

    In questo caso, la stessa formula dà una equazione diversa. In precedenza era più conveniente avere T da sola sulla sinistra. Ora, è più conveniente isolare E:

Si sottragga 90 da ambo i membri:

Ora, per ogni T inserito, si ottiene un valore di E.

Esempio (2)

    La temperatura è di solito misurata utilizzando o la scala introdotta nel 1714 da Farenheit o quella proposta nel 1742 da Celsius. Se la temperatura di un oggetto è F gradi sulla scala Farenheit e C gradi sulla scala Celsius, i due numeri sono collegati dalla formula

Dato uno dei due numeri, abbiamo un'equazione per l'altro.
Se F è quello dato, la forma sopra dà immediatamente C. Se invece è dato C, essa consente di isolare F. Si moltiplichino entrambi i membri per 9:

Si scambino i membri per una visualizzazione migliore:

Esempio (3) La distanza s che copre un oggetto che cade in un tempo di t secondi, partendo da fermo, è

s = (1/2) gt²

   Qui g è il numero che indica la forza di attrazione gravitazionale della Terra: se s è espressa in metri, g = 9,81 , se in piedi, g = 32,16 (9,81 metri = 32,16 piedi). Tale valore è noto, ma la manipolazione della formula (come fatto in basso) diventa più semplice se si continua a indicarlo con una lettera fino al momento in cui viene effettivamente utilizzato.

    Tuttavia, il tempo t non è dato. Ogni volta che si sceglierà un valore per t, la formula fornirà le opportune distanze.

   Supponiamo di cercare la relazione inversa--dato s, quanto vale t? Ora si considera t come incognita e si procede a isolarla. Si moltiplichino entrambi i membri per 2

2s = gt²

e si divida per g

2s/g = t²

Per andare da t² a t si deve trovare la radice quadrata, un compito facile per chiunque con una calcolatrice con un tasto radice quadrata (esistono anche metodi più lenti, usando carta e matita). La matematica usa un segno √ per questo, quindi

√(2s/g) = t

Ora, qualunque sia la distanza s, la si può mettere nell'equazione e ricavare il tempo appropriato t,espresso in secondi.

Sostituzione di Formule

    Lo stesso vale anche per le formule. Per esempio--se si moltiplicano i due membri di una formula per lo stesso numero, il risultato è ancora una formula valida, anche se ciò che si moltiplica contiene incognite. Uguale significa uguale!

   L'esempio che segue è di una specie che si presenta spesso. In uno dei problemi in "Astronomi", si arriva ad una formula

dove π=3.1415926... è un numero fisso, il numero dei diametri contenuti nella circonferenza di un cerchio, T è un certo intervallo di tempo e R una certa distanza. Supponiamo che ci venga detto che all'istante (1) i loro valori siano T₁ e R₁, e all'istante (2), questi siano T₂ e R₂. Ora abbiamo due formule

Qualche collegamento tra le due coppie,(T₁, R₁) e (T₂, R₂)? Si! Possiamo dividere

• il lato sinistro di (1) per il lato sinistro di (2),
• il lato destro di (1) per il lato destro di (2)

    Semplificando i termini che sono uguali al numeratore e al denominatore--cioè, V sulla sinistra e 2 π sulla destra--rimane

che si rivela utile nel resto dei calcoli. Questa è una regola generale: date due formule o equazioni, possiamo dividere ciascun membro di una per uno dei membri dell'altra. "Dividendo uguali per uguali, si ottengono risultati che restano uguali".