Nota: Similmente al calcolo riportato nella sezione (34b), anche questo richiede una buona conoscenza di algebra. Non sono richieste nozioni di trigonometria, tuttavia vengono ampiamente usati i vettori. Come per l'altra sezione, se intendete studiare questo metodo di calcolo, è una buona idea stampare questa sezione su carta, per seguire bene i vari passaggi.

Supponiamo di avere 3 masse puntiformi (m₁, m₂, m₃) orbitanti sotto l'azione della loro attrazione reciproca. Le tre masse formano un triangolo ABC i cui lati (R₁, R₂, R₃) corrispondono alle masse in modo che R₁ sia il lato opposto a m₁, R₂ sia opposto a m₂ e R₃ sia opposto a m₃ (ved. Figura 1). Assumeremo che il moto abbia inizio nel piano del triangolo, e, poiché anche tutte le forze giacciono su quel piano, il moto resterà sempre sul piano.

È possibile che le tre masse mantengano le loro distanze reciproche, conservando invariata la forma del triangolo? Un tale triangolo deve poter ruotare attorno a un certo punto O con il periodo costante T. Vediamo ora se, con questo tipo di movimento, tutte le forze possono restare in equilibrio, e questo implicherebbe che la cosa è possibile.

Siano (r₁, r₂, r₃) le distanze delle tre masse da O. Le loro velocità sono quindi

Sistemi di riferimento in rotazione

I vettori

Sommando tutte e tre le equazioni

E quindi la somma delle 6 forze gravitazionali è zero, lasciando perciò

Si può dimostrare che tutto questo richiede che il punto O, da cui vengono misurati (r₁, r₂, r₃), sia il baricentro delle tre masse. Questo non è altro che l'estensione dell'affermazione (ved. la sezione 25) secondo cui, in un gruppo di oggetti in cui tutte le forze sono soltanto quelle che si esercitano tra di essi (come in questo caso l'attrazione gravitazionale tra le masse), il baricentro si mantiene fisso (lo stesso discorso può essere esteso facilmente a 4 o più oggetti).

Utili relazioni tra vettori

Moltiplicando le equazioni, nell'ordine qui riportato, per m₂, m₃ e m₁, e poi sommandole:

allora

Introduciamo ora altri due vettori

orientati nella stessa direzione di (R₂, R₃). Il tutto diventa semplicemente

Interpretiamo ora graficamente questa equazione. I vettori (ρ₂, ρ₃) hanno la stessa direzione di (R₂, R₃), e possono essere rappresentati dai segmenti AE e AD in Figura 3. Tuttavia l'equazione

e le proprietà della somma tra vettori suggeriscono che, se AE rappresenta ρ₂, e sommiamo ad esso un segmento che rappresenta ρ₃ -- parallelo a AD e della stessa lunghezza -- allora la sua estremità coinciderà con il punto O (oppure, in altre parole, se si aggiunge un 4^o punto a (A,D,E) per formare un parallelogramma, quel punto andrà a finire in O).

Adesso viene il trucco!

I vettori sono paralleli a (R₂, R₃, r₁), e perciò anche a (ρ₃, ρ₂, r₁), per cui il triangolo dovrà avere la stessa forma del triangolo AEO, e le lunghezze dei suoi lati saranno nelle stesse proporzioni (cioè i due triangoli sono "simili").

La lunghezza di un lato del triangolo è proporzionale alla grandezza del vettore che rappresenta. Per cui

Eliminando le frazioni, moltiplicando ambo i membri per (F₁₃ρ₂) si ottiene

Precedentemente era stato dimostrato che

Inoltre, per la legge della gravitazione di Newton, se G è la "costante di gravità"

Comunque, avremmo potuto svolgere lo stesso calcolo relativamente alla massa m₂, considerando i lati R₁ e R₃, e avremmo ottenuto R₁ = R₃. Ne deriva quindi che tutti e tre i lati del triangolo ABC devono essere uguali:

Se vale questa relazione, è relativamente facile dimostrare che le 3 equazioni di equilibrio sono soddisfatte, e, conoscendo G, si può calcolare T. Il triangolo equilatero ABC fornisce così il completo equilibrio.