La Luna orbita intorno alla Terra. Poiché le sue dimensioni non sembrano variare, la sua distanza rimane circa la stessa, e la sua orbita è pressoché circolare. Perché la Luna si mantenga su questa orbita circolare -- anziché vagare nello spazio -- la Terra deve esercitare sul nostro satellite una attrazione, che Newton chiamò forza di gravità.

Si tratta della stessa forza che attrae gli oggetti verso il basso?

Per tradizione, questa domanda si affacciò alla mente di Newton, osservando una mela che cadeva da un albero. John Conduitt, assistente di Newton alla Zecca Reale e marito di una nipote di Newton, scrisse queste parole nel suo racconto della vita del grande scienziato:

Nell'anno 1666 si era di nuovo ritirato da Cambridge ... presso sua madre nel Lincolnshire, e, mentre stava meditando in un giardino, gli venne in mente che la forza di gravità (che aveva fatto cadere a terra una mela da un albero) non fosse limitata a una certa distanza dalla Terra, ma piuttosto il suo potere si poteva estendere molto più oltre di quanto si pensasse generalmente. E, disse tra sé e sé, perché non fino alla Luna, e, in tal caso, avrebbe influenzato il suo moto e forse l'avrebbe mantenuta sulla sua orbita. Dopodiché si mise a calcolare quale potrebbe essere stato l'effetto di questa interazione...

Per calcolare la forza di gravità esercitata sulla Luna, occorre anche sapere di quanto la forza si è indebolita alla distanza della Luna. Newton dimostrò che, se la gravità a una distanza R è proporzionale a 1/R² (cioè che varia con "l'inverso del quadrato della distanza"), allora l'accelerazione g misurata sulla superficie terrestre ci permette di predire correttamente il periodo orbitale T della Luna.

Newton andò oltre e suggerì che la gravità fosse una forza "universale", e che fosse la forza di gravità del Sole a mantenere in orbita i pianeti. Egli fu anche in grado di dimostrare che le leggi di Keplero erano la conseguenza naturale della "legge dell'inverso del quadrato della distanza", e anche oggi tutti i calcoli delle orbite dei pianeti e dei satelliti si basano su questi assunti.

Ai nostri giorni, gli studenti che ricavano le leggi di Keplero dalla "legge dell'inverso del quadrato della distanza", usano il calcolo differenziale, uno strumento matematico alla cui realizzazione Newton ha avuto un ruolo notevole. È interessante notare, comunque, che la dimostrazione pubblicata da Newton non faceva uso del calcolo differenziale, ma si basava su intricate proprietà delle ellissi e delle altre sezioni coniche. Richard Feynman, un fisico anticonformista, premio Nobel, ricavò di nuovo la dimostrazione (come anche avevano fatto alcuni suoi illustri predecessori); ved. in proposito i riferimenti in fondo a questa sezione.

Qui ora ripercorreremo le tappe del calcolo che correla la gravità osservata sulla Terra con il moto della Luna attraverso il cielo, due tipi di osservazioni apparentemente non correlate. Per seguire bene i passaggi di questo calcolo, è opportuno munirsi di una calcolatrice.

Come calcolare il moto della Luna

Assumiamo che il moto della Luna sia circolare, e che l'attrazione terrestre sia sempre diretta verso il centro della Terra. Sia R_t il raggio medio della Terra (stimato per la prima volta da Eratostene) pari a

R_t= 6 371 km

La distanza R della Luna è quindi circa 60 R_t . Se una massa m sulla Terra è attratta da una forza mg, e se vale la "legge dell'inverso del quadrato" di Newton, allora l'attrazione della stessa massa alla distanza della Luna sarà 60² = 3600 volte più debole e sarà uguale a

mg/3600

Se m è la massa della Luna, è questa la forza che mantiene la Luna sulla sua orbita. Se l'orbita lunare è circolare, poiché R = 60 R_t , allora la sua lunghezza è

2 π R = 120 π R_t

Supponiamo che il tempo impiegato a compiere un'orbita sia T secondi. La velocità v del moto è quindi

v = distanza/tempo = 120 π R_t/T

(Da notare: non è la gravità che fornisce alla Luna la sua velocità. Qualunque sia la velocità della Luna, è probabilmente quella che aveva quando si è formata. Ma è la gravità che impedisce alla Luna di sfuggire via, e che la mantiene sulla sua orbita).

La forza centripeta che mantiene la Luna sulla sua orbita deve essere quindi uguale a

mv²/R = mv²/(60 R_t)

e se è la gravità terrestre a fornire tale forza, allora

mg/3600 = mv²/(60 R_t)

dividendo ambo i membri per m e poi moltiplicandoli per 60, l'espressione si riduce a

g/60 = v²/R_t = (120 π R_t)²/(T² R_t)

Eliminando un fattore R_t , moltiplicando ambo i membri per 60 T² e dividendoli per g, si ottiene

T² = (864 000 π² R_t)/g = 864 000 R_t (π²/g)

Provvidenzialmente, nelle unità di misura usate, g ~ 9,81 è molto prossimo a π² ~ 9,87, per cui il termine tra parentesi è prossimo a 1 e può essere eliminato. Si ottiene (sostituendo i valori numerici)

T² = (864 000) (6 371 000)

Con una calcolatrice, è facile trovare la radice quadrata dei due termini. Otteniamo (con una accuratezza di 4 cifre significative)

864 000 = (929,5)²       6 371 000 = (2524)²

E pertanto

T ≈ (929,5) (2524) = 2 346 058 secondi

Per ottenere T in giorni, dividiamo per 86400, il numero di secondi in un giorno, e abbiamo

T = 27,153 giorni

molto vicino al valore reale

T = 27,3217 giorni