La vostra linea di vista verso l'orizzonte è tangente alla Terra--è cioè una linea che tocca la sfera terrestre soltanto in un punto, indicato con la lettera B nel disegno. Se O è il centro della sfera terrestre, da un ben noto teorema di geometria, si ha che tale tangente è perpendicolare al raggio OB, cioè forma con esso un angolo di 90^o.

Al triangolo OAB si può quindi applicare il teorema di Pitagora, che qui si può scrivere

(OA)² = (AB)² + (OB)²

oppure, se si specifica la lunghezza dei vari segmenti

(R + h)² = D² + R²

Dall'identità algebrica (ricavata nel "ripasso di matematica"), si ha che il primo membro è uguale a R² + 2Rh + h², e quindi

R² + 2Rh + h² = D² + R²

Se ora si sottrae R² da entrambi i membri e si mette in evidenza h nel primo membro

h(2R + h) = D²

Il diametro terrestre 2R è molto più grande di h, e quindi si fa un errore del tutto trascurabile se di sostituisce 2R al posto di (2R+h). Con tale sostituzione si ottiene

2Rh = D²

D = SQRT (2Rh)

dove SQRT indica qui la "radice quadrata di". Questa equazione permette di calcolare D--in chilometri, se anche h e R sono espressi in chilometri--ma è anche possibile una ulteriore semplificazione:

SQRT (2Rh) = (SQRT (2R)) x (SQRT (h))

dove vengono moltiplicate tra loro le due radici quadrate. Usando R = 6371 km, SQRT (2R) = 112.88, si ottiene

D = 112.88 km SQRT (h)

Se vi trovate in cima a una montagna alta 1 km, h = 1 km, e il vostro orizzonte sarà lontano 112.88 km (trascurando la rifrazione atmosferica, che può modificare questo valore). Dalla cima di Mauna Kea, nelle Hawaii, un vulcano spento alto circa 4 km (che è anche il sito di importanti osservatori astronomici), l'orizzonte sarebbe il doppio più lontano, 226 km. Al contrario, stando in piedi sulla spiaggia, con i vostri occhi situati solo a 2 metri = 0.002 km sul livello dell'acqua, poiché SQRT(0.002) = 0.04472, l'orizzonte sarebbe lontano soltanto 5 km.

Il calcolo può essere fatto anche nell'altro verso. Da una nave sull'oceano comincerete a vedere la cima di Mauna Kea quando vi avvicinate a una distanza di 226 km (anche qui, senza tenere conto della rifrazione). Il 15 novembre 1806, il tenente Zebulon Pike dell'Esercito degli Stati Uniti, comandante di una missione esplorativa nelle pianure centro-occidentali degli Stati Uniti, vide con il suo cannocchiale la cima di una lontana montagna, appena al di sopra dell'orizzonte. La sua squadra impiegò una settimana per percorrere i 160 chilometri che la separava da quella montagna, che ora porta il nome di Pike's Peak, una delle più alte vette del Colorado. Pike cercò anche di arrampicarsi fino sulla cima, ma la neve e l'altezza inaspettata della montagna lo costrinsero a desistere.

Siti Web relativi al Pike's Peak qui e qui.