Come avevamo già accennato, esistono altri modi per individuare un punto su un piano. Per esempio, un punto P può essere specificato dalla sua distanza r da un punto centrale O ("origine") e dall'angolo φ (la lettera greca "phi") che la linea OP forma con qualche direzione di riferimento. Queste "coordinate polari" (ved. il disegno in basso a destra) sono il mezzo più adatto per descrivere il moto planetario.

L'ellisse in coordinate polari

   Di nuovo, se tutti i valori di (r,φ) di una curva sono correlati da una qualche equazione che può essere simbolicamente scritta

r = r(φ)

allora la funzione r(φ) si chiama l'equazione della curva, in coordinate polari. La funzione più semplice è un numero costante a, a cui corrisponde la curva

r = a

   Il valore di r è uguale ad a per ogni valore di φ. Si ha in tal caso una circonferenza con centro nell'origine e di raggio uguale ad a, mostrata nella figura qui a destra.

L'ellisse

Consideriamo adesso la curva di equazione

r = a(1– e²)/(1+ e cos φ)

dove l'eccentricità e è un numero compreso tra 0 e 1. Se e = 0, torniamo chiaramente al caso della circonferenza esaminata qui sopra.

   Ma che succede per valori diversi? La funzione cos φ ha un comportamento ondulatorio (ved. l'immagine qui sotto), e, al variare di φ lungo tutta la circonferenza, passa prima da +1 a 0, poi al valore –1, e infine di nuovo a 0 e a +1. Anche il denominatore cresce e diminuisce con andamento ondulatorio, ed ha un minimo quando cos φ = –1. Sotto alla figura è riportata una tabella con i valori principali della funzione (360 sta tra parentesi, poiché rappresenta la stessa direzione di 0 gradi):

   Fintantoché e è minore di 1, il denominatore è positivo. Non è mai zero, per cui, qualunque sia il valore di φ, si potrà sempre trovare un corrispondente valore di r. In altre parole, la curva gira completamente attorno all'origine ed è chiusa.

   L'espressione (1 – e²) può essere scomposta in fattori, cioè scritta come due espressioni moltiplicate tra loro ("il prodotto di due espressioni"). Come viene discusso nella sezione sulle identità algebriche

1 – e² =  (1 – e)(1 + e)

Per qualcuno dei punti della tabella precedente, (1 – e) oppure (1 + e) fa annullare il denominatore, dando:

   La distanza di un punto della curva dall'origine fluttua quindi tra a(1 – e) e a(1 + e), e il risultato è una circonferenza schiacciata o ellisse; il punto O (l'origine) è il suo fuoco. Tutte le orbite planetarie rassomigliano ad ellissi, ciascuna con un suo valore di e o eccentricità: più è piccolo il valore di e, e più la forma si avvicina a quella di una circonferenza. L'orbita terrestre è quasi circolare, con una eccentricità e = 0,0168, e gli altri pianeti maggiori (eccetto Plutone) hanno eccentricità simili: se guardaste un disegno in scala delle orbite tracciate su un foglio di carta, non riuscireste a vedere a occhio che non si tratta di circonferenze. L'orbita della cometa di Halley, al contrario, ha una eccentricità molto prossima a 1.