"Astronomi" ha introdotto due modi di descrivere la posizione di un punto P su una superficie piana (per es. un foglio di carta): le coordinate cartesiane (x,y) e le coordinate polari (r,φ).

Entrambe usano come riferimento un punto O ("origine") e una retta passante per esso ("asse x"). In coordinate cartesiane un secondo "asse y" viene tracciato per lo O, perpendicolarmente al primo, e quindi da P vengono tirate linee parallele agli assi, e li intersecano nei punti A e B sul disegno. Le distanze OA e OB indicano allora i due numeri che individuano P, le coordinate x e y del punto.

In coordinate polari , il punto P è individuato dalla sua distanza r dall'origine O (si veda il disegno) a dal suo angolo polare ("azimuth" su una mappa) tra l'asse x e il "raggio" r = OA, misurato in senso antiorario.

Dal momento che la figura OAPB è un rettangolo, la distanza AP è uguale anche a y. Perciò

sen φ = y/r
cos φ = x/r

Moltiplicando tutto per r otteniamo la relazione tra i due sistemi di coordinate (i simboli affiancati si intendono moltiplicati):

x = r cos φ
y = r sen φ

Queste relazioni consentono di calcolare (x,y) quando sono date (r,φ). Per andare nella direzione opposta – date (x,y), trovare (r,φ) – si nota che nel triangolo OAP, per Pitagora

x² + y² = r²

Perciò, date (x,y), si può calcolare r, e quindi (sen φ, cos φ) possono essere ricavate come prima da

sen φ = y/r
cos φ = x/r

(eccetto nel punto di origine O, dove (x, y, r) sono tutte zero e le frazioni di cui sopra diventano 0/0; allora per l'angolo φ può essere scelto ogni valore).

Tuttavia, rimane un problema. L'angolo φ così come definito sopra può andare da 0 a 360°, ma (sen φ, cos φ) sono definiti solo tra 0 e 90°, coprendo solo la parte della superficie dove x e y sono entrambe positive. Quando una di esse o entrambe sono negative, l'angolo φ è più grande di 90 gradi, e questo tipo di angoli non compare mai in un triangolo rettangolo. Che specie di significato possono avere (sen φ, cos φ) per φ più grande di 90 gradi?

C'è una soluzione semplice, tuttavia: usare le equazioni di cui sopra per ri-definire sen φ e cos φ per tali angoli più grandi! Le equazioni sono

sen φ = y/r
cos φ = x/r

Esse sono viste ora come nuove definizioni del seno e del coseno, per l'angolo polare φ dato da x e y (un modo leggermente diverso di formulare questa definizione viene descritto più avanti). Se (x,y) sono entrambe positive, il risultato è esattamente lo stesso che per angoli all'interno di un triangolo rettangolo. Ma vale anche per angoli più grandi. Il seno e il coseno possono ora essere negativi (proprio come x e y) ma la loro grandezza ancora non può essere maggiore di 1, perché la grandezza di x e y non è mai più grande di r. Ecco la tabella dei segni:

Facendo ruotare la linea OP intorno all'origine più di una volta si fa crescere l'angolo φ oltre i 360°; il seno e il coseno sono ancora definiti come y/r e x/r, e assumono di nuovo i loro precedenti valori. Similmente, ruotando OA nella direzione opposta – in senso orario – si possono definire i valori negativi di φ. Insieme, queste estensioni definiscono (sen φ, cos φ) per ogni angolo φ, positivo o negativo, di qualsiasi ampiezza.

La relazione ricavata dal teorema di Pitagora

sen²φ + cos²φ = 1

vale per ognuno di quegli angoli. Se il seno o il coseno sono zero, l'altra funzione deve essere +1 o –1, a seconda del segno delle coordinate (x o y) che li definisce. A 90° e 270°, x = 0 e perciò cos φ = 0, mentre a 0° e 180° y = 0 e perciò sen φ = 0. Allora abbiamo

Naturalmente, φ = 0° e φ = 360° rappresentano la stessa posizione di r, cioè, lungo il ramo positivo dell'asse x. Di seguito c'è il grafico vero e proprio del cos φ:

Una Definizione Leggermente Diversa: la Circonferenza Unitaria

Molti testi di trigonometria definiscono il seno e il coseno in modo leggermente diverso, usando la cosiddetta circonferenza unitaria. Essa è la circonferenza il cui raggio è scelto pari a 1 unità (in qualunque unità misuriamo). Disegnamo la circonferenza il cui centro si trovi nell'origine O di un insieme (x,y) di coordinate, e immaginiamo un raggio mobile OB che descriva un angolo a con l'asse x.

Allora la distanza AB ("la linea del seno") è pari a sen a, e la distanza OA ("la linea del coseno") è pari a cos a. La linea CD, porzione della tangente alla circonferenza individuata dal prolungamento di OB, è la "linea tangente," essa è uguale a tan a e spiega il perché il nome "tangente" è stata data a questa quantità.

Si supponga che il raggio ruoti nella posizione OB', in modo che il suo angolo con l'asse x sia b, più grande di 90°. Quindi la linea del seno A'B' ha ancora lunghezza positiva, dal momento che si trova al di sopra dell'asse orizzontale (ascisse). Tuttavia la linea del coseno OA' si trova alla sinistra dell'origine, così la sua lunghezza – che dà il coseno – deve essere considerata come negativa. La porzione della tangente è ora la linea CD' prodotta dal prolungamento OD' del raggio rotante, e la sua lunghezza è anch'essa considerata come negativa.

Facendo fare al raggio un giro completo intorno alla circonferenza e misurando la distanza – sapendo che tutto ciò che si trova sotto l'asse orizzontale o a sinistra di quello verticale è negativo – osserviamo che la linea del seno, la linea del coseno e la linea della tangente danno sempre le corrette funzioni. In realtà non è diverso dalla precedente definizione: ma se mai vi foste chiesti, in che modo il termine "tangente" venisse usato in trigonometria, ora lo sapete.