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(13) Como Caen Las Cosas

La torre inclinada de Pisa

Galileo fue probablemente el primero en mirar con atención la forma en que los objetos caen hacia la Tierra. La leyenda dice que subió a la parte superior de la torre inclinada de Pisa y tiró desde allí, simultánemente, bolas pesadas y ligeras, observando que llegaban al suelo al mismo tiempo. Así demostró que, al contrario de las antiguas afirmaciones, los objetos ligeros y pesados ("cuerpos") caen a la misma velocidad. Los estudios de Galileo crearon un gran interés, porque se aplicaban, no solo a caídas simples, como la caída de una manzana de un árbol, como la que, según se dice, inspiró a Newton, sino que también eran aplicables al asunto más práctico de la trayectoria de las balas de cañón. 
 

Aceleración

Un objeto dejado caer comienza su caída muy lentamente, pero aumenta su velocidad constantemente, acelera, con el tiempo. Galileo demostró que (ignorando la resistencia del aire) los objetos ligeros y pesados aceleran a la misma razón constante cuando caen, o sea, su velocidad aumenta a una razón constante. La velocidad de una bola que cae desde un lugar elevado aumenta cada segundo una cantidad constante, designada normalmente por la letra g (de  gravedad). En unidades modernas  (usando la convención del álgebra, en la que los símbolos o los números que están al lado de otros se entiende que se multiplican) su velocidad es
al comienzo  --  0 (cero)
después de 1 segundo   --  g metros/segundo (m/s)
después de 2 segundos -- 2g m/s
después de 3 segundos -- 3g m/s
y etc... Esto se modifica con la resistencia del aire, que se hace importante a velocidades elevadas y, normalmente, fija una velocidad límite a la velocidad de caída ("velocidad terminal"); mucho menor, por ejemplo, para quien use un paracaídas que para quien no lo haga. 

El número g está cercano a 10, con más precisión: 9.79 en el ecuador, 9.83 en el polo y valores intermedios entre ambos lugares, y se conoce como "la aceleración debida a la gravedad". Si la velocidad aumenta 9.81 m/s cada segundo (un valor medio bueno), g se dice que es igual a "9.81 metros por segundo por segundo" ó, lo que es lo mismo, 9.81 m/s2

Añadiendo una Velocidad Inicial

Considere que la bola tiene una velocidad inicial u hacia arriba ó hacia abajo. Si las distancias hacia abajo se eligen como positivas, la velocidad debida a la gravedad será siempre positiva, mientras que u será positiva si se dirige hacia abajo y negativa si lo hace hacia arriba.

Con esta cláusula, las observaciones indican que u debe ser sumada en todas partes a la velocidad debida a la gravedad, hallando la velocidad en segundos sucesivos (como en la lista superior)

u, u+g, u+2g, u+3g . . .

y, en general, después de t segundos

 u + gt

(gt significa: "g veces t")

La Distancia Cubierta

La distancia cubierta por la bola puede parecer ser la misma que la cubierta si la bola tiene una velocidad constante "media" v(media), igual a la semi-suma de las velocidades de comienzo y final. Para la bola descendente del ejemplo anterior, después de t segundos será

v(media) = (1/2)[u + (u+gt)]

haciendo a la distancia cubierta

distancia = t v(media) = ut + (1/2) gt2

El Experimento de Galileo

El libro "The God Particle" de Leon Lederman, ganador del Premio Nobel, y de Dick Teresi (un buen libro, si acepta su actitud irreverente y humor hortera) nos dice como Galileo mostró que el movimiento descendente de una esfera debido a la gravedad tiene una aceleración constante, y que a partir del reposo (u = 0) cubre una distancia que aumenta en proporción al cuadrado del tiempo transcurrido, tal y como se muestra en la fórmula superior. 

Dado que una caída vertical era muy rápida para que Galileo la midiera con precisión, la ralentizó haciendo que la esfera rodase por un tablero inclinado. A través del tablero, a lo largo de su superficie, engarzó una serie de alambres horizontales tirantes, haciendo que sonara un clic siempre la bola saltaba sobre unos de ellos. Galileo movió luego los alambres hacia arriba y abajo del tablero hasta que los clics sonaron espaciados uniformemente.

Si ahora la aceleración es a (mucho menor que g) y el tiempo t se mide en clics, mediante la fórmula superior, comenzando con la bola en reposo (u= 0) se obtiene la distancia cubierta S

Después de un clic   S = (a/2) 12 = a/ 2
Después de dos       S = (a/2) 22 = 2a
Después de tres       S = (a/2) 32 = 4.5 a
y así sucesivamente. La proporción entre las distancias deberá ser la de los cuadrados 1, 4, 9, 16, 25. . . y eso fue lo que Galileo confirmó. Si convertimos los clics en segundos, tenemos en cuenta el ángulo del tablero y también el hecho de que la bola rodaba (una teoría que no estaba disponible en los días de Galileo), podremos calcular, en principio, g a partir de a

Cataratas y Pelotas de Béisbol

Además, si al comienzo la bola se mueve con una velocidad horizontal w, su movimiento horizontal continúa sin ningún impedimento, avanzando una distancia w cada segundo, aunque la bola esté cayendo (ignorando la resistencia del aire). Los dos movimientos tienen lugar simultáneamente, haciendo que la bola siga una curva, que gradualmente se hace más pronunciada debido a que la velocidad de caída se va incrementando, mientras que la horizontal no. Es así como se mueven las gotas en una catarata, lo que proporciona a la sección transversal su forma característica (izquierda). 

La escena que se ve continuamente en las películas de dibujos animados de "El Correcaminos", en la que Wily Coyote corre más allá del borde del acantilado, suspendiéndose en el espacio (hasta que se da cuenta) y luego cae a plomo es una ficción de la imaginación, totalmente contraria a las leyes de la física. En la realidad tienen lugar los dos movimientos simultáneamente. De igual modo, una bala disparada por un rifle sobre una diana comienza a caer desde el mismo momento en que abandona la boca del rifle. Es necesario ajustar el visor del rifle para la distancia apuntando hacia un punto por encima del blanco, calculado a fin de que, a la distancia apropiada, con la caída, la bala la dirija hacia abajo, hacia la diana. 

Para una piedra arrojada hacia arriba, u es negativa y estará a una distancia vertical indeterminada sobre el punto de lanzamiento. En este caso, haga U = -u  un número positivo. Luego después de t segundos

velocidad = (-U + gt) m/s

Al principio t es pequeño y la velocidad es negativa, mostrando a la piedra moverse hacia arriba. En el momento que 

gt = U

la suma es cero y durante un breve instante la piedra está en descanso, en la cúspide de su trayectoria. En ese momento

t = U/g

y si el valor se usa en la fórmula para la distancia, se obtiene la altura a la cual ocurre. Y, en conclusión, si se añade a este movimiento una velocidad constante horizontal w, se deducirá el movimiento de una pelota de béisbol o el de una bala de cañón. 

Respecto a la resistencia del aire

Las fórmulas de arriba solo se cumplen para balas de cañón ideales que no experimentan resistencia del aire. En la práctica, esta resistencia modifica el movimiento y debe de tenerse en cuenta, especialmente en la caída de objetos ligeros, como puede ser una pluma. Una demostración científica popular durante siglos ha sido la de una moneda y una pluma cayendo simultáneamente en el interior de un tubo de cristal, al cual se le ha hecho el vacío: siempre se les ve a las dos caer con la misma velocidad. 

Una demostración similar fue hecha también en la superficie de la Luna por uno de los astronautas del Apolo. No solo la Luna no tiene atmósfera, sino que su gravedad es varias veces más débil, haciendo que la caída sea más lenta y más fácil de observar. El astronauta dejó caer la moneda y la pluma delante de una cámara de TV y su audiencia en la Tierra que estaban viendo la TV, observó a las dos cayendo juntas. 

Aunque, como anécdota, el astronauta probó primero su experimento fuera de la visión de la cámara, para estar seguro de que funcionaba. 

Exploración Adicional:

Una unidad de estudio universitario en  el movimiento de caída en un plano inclinado, muestra que la gravedad se "amortigua" por el factor sen q, donde q es el ángulo de la inclinación.

Un artículo sobre la torre inclinada de Pisa: de Scientific American. . . Se puede también visitar la torre inclinada de Pisa   y sus alrededores y el cursor permite ver una imagen panorámica de 360º.


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Spanish translation by J. Méndez

Last updated 13 December 2001

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