¿Es la misma que atrae todos los objetos hacia abajo?

Supuestamente la anterior pregunta se le ocurrió a Newton cuando vio a una manzana caer del árbol. John Conduitt, asistente de Newton en la real moneda y marido de su sobrina, dijo esto sobre el asunto cuando escribió sobre la vida de Newton:

En el año 1666 se retiró de nuevo de Cambridge ... con su madre en Lincolnshire y mientras estaba meditando en un huerto cayó en la cuenta de que el poder de la gravedad (que hizo caer a una manzana desde el árbol al suelo) no estaba limitada a una cierta distancia de la Tierra, sino que su poder debía extenderse mucho más de lo que habitualmente se pensaba. ¿Por qué no tan arriba como a la Luna?, reflexionaba, y si así fuese, que influenciara su movimiento y quizá la retuviera en su órbita, con lo cual él caía en calcular cual sería el efecto de esa suposición ... 

Si esa era la misma fuerza, entonces debería existir una conexión entre la forma como caen los objetos y el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, es decir, su distancia y periodo orbital. El periodo orbital que conocemos es el mes lunar, corregido por el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, que también afecta al tramo de tiempo entre una "luna nueva" y la siguiente. La distancia fue estimada anteriormente en la antigua Grecia, vea aquí y aquí .

Para calcular la fuerza de gravedad sobre la Luna, se debe conocer que débil es a la distancia de la Luna. Newton mostró que si la gravedad a la distancia R era proporcional a 1/R² ("inverso del cuadrado de la distancia"), la aceleración g medida en la superficie de la Tierra debería predecir correctamente el periodo orbital de la Luna. 

Newton fue más allá y propuso que la gravedad es una fuerza "universal" y que la gravedad del Sol mantenía a los planetas en sus órbitas. Fue capaz de mostrar que las leyes de Kepler eran consecuencia natural de la "ley de los inversos cuadrados" y hoy todos los cálculos de las órbitas de los planetas y satélites siguen su huellas. 

Hoy en día los estudiantes que deducen  las leyes de Kepler de la "ley de los inversos-cuadrados" usan el cálculo diferencial, una herramienta matemática en cuya creación Newton tuvo una gran participación. Es interesante, sin embargo, que en la demostración que Newton publicó no usaba el cálculo, saino que dependía de propiedades complejas de las elipses y de otras secciones cónicas. Richard Feynman, físico independiente ganador del Premio Nobel, volvió a deducir esa demostración (como hicieron algunos predecesores distinguidos). Vea la referencia al final de la sección. 

Aquí volveremos a desandar los cálculos, que enlazan la gravedad observada sobre la Tierra con el movimiento de la Luna a través del cielo, dos observaciones aparentemente inconexas. Si quiere comprobar los cálculos, necesitará una calculadora de mano. 

Asumimos que la órbita de la Luna es un círculo, y que la atracción de la Tierra se dirige siempre hacia el centro de la Tierra. Haga a R_E ser el radio medio de la Tierra, (estimado por Eratóstenes)

R_E= 6 371 km

La distancia R a la Luna está a unos 60 R_E. Si la masa m sobre la Tierra es atraída por una fuerza mg, y como lo asevera la "ley del inverso cuadrado" de Newton,  luego la atracción sobre masas iguales a la distancia de la Luna será 60² = 3600 veces menor e igualará

mg/3600

Si m es la masa de la Luna, cual es la fuerza que mantiene a la Luna en su órbita. Si la órbita es un círculo, como R = 60 R_E su longitud será

2 π R = 120 π R_E

Suponga que el tiempo necesario para recorrer una órbita es de T segundos. La velocidad v del movimiento es

v = distancia/tiempo = 120 π R_E/T

(Por favor, observe que: la gravedad no es la que proporciona a la Luna su velocidad. La velocidad que tiene la Luna fue adquirida probablemente cuando se creó. Pero la gravedad impide que la Luna se aleje y la confina en una órbita.)

La fuerza centrípeta que mantiene a la Luna en su órbita debe, por consiguiente, ser igual a 

mv²/R = mv²/(60 R_E)

y si la gravedad de la Tierra suministra esa fuerza, entonces

mg/3600 = mv²/(60 R_E)

dividiendo ambos lados por m  y luego multiplicándolos por 60 lo simplifica a

g/60 = v²/R_E = (120 π R_E)²/(T² R_E)

Anule un factor de  R_E , multiplicando ambos lados por 60 T² y dividiéndolos por g nos da

T² = (864 000 π² R_E)/g = 864 000 R_E (π²/g)

De manera providencial, en las unidades usamos g ~ 9.81 que es muy parecido a π² ~ 9.87. De tal forma que el término en paréntesis es cercano a 1 y puede eliminarse. Esto nos deja (los dos paréntesis están multiplicados)

T² = (864 000) (6 371 000)

Con una calculadora manual es fácil encontrar las raíces cuadradas de dos términos. Tenemos (con una precisión de 4 cifras)

864 000 = (929.5)²       6 371 000 = (2524)²

Luego

T ≅ (929.5) (2524) = 2 346 058 segundos

Para obtener T en días dividimos por 86400, el número de segundos en un día, para obtener

T = 27.153 días

muy cercano al valor aceptado de 

T = 27.3217 días

 

Newton vio correctamente esto como una confirmación de la "ley del inverso cuadrado". Más de un siglo después, en 1796, su compatriota Henry Cavendish midió realmente en el laboratorio la débil atracción gravitacional entre muestras de material. Un siglo después de esto (como ya se ha dicho) el físico húngaro Lorand Eötvös mejoró grandemente la precisión de estas medidas. 

Exploración Adicional:

Un lugar sobre la historia que inspiró a Newton sobre la fuerza de la gravedad que tuvo de la observación de la caída de una manzana del árbol.

Un artículo minucioso: Keesing, R.G., La Historia del manzano de Newton, Contemporary Physics, 39, 377-91, 1998

Los cálculos de Richard Feynman se pueden encontrar en el libro "Feynman's Lost Lecture: The Motion of Planets Around the Sun" de D. L Goodstein y J. R. Goodstein (Norton, 1996; revisado por Paul Murdin en Nature, vol. 380, p. 680, 25 Abril 1996).

Próxima Etapa: #21 Tercera Ley de Kepler

Author and Curator:   Dr. David P. Stern
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Spanish translation by J. Méndez

Last updated 13 December 2001