Se puede demostrar que la elipse de transferencia de Hohmann es el modo más eficiente de aprovechar el empuje del cohete para alcanzar Marte. Otras trayectorias pueden llegar a allí más rápido, pero requerirán más empuje para empezar y un ajuste más grande del empuje al final, incluyendo quizás un cambio en la dirección.

    ¿Algún inconveniente? Sólo uno: una exigencia muy rigurosa respecto de las posiciones relativas de la Tierra y Marte en el momento del lanzamiento. Como se verá, las condiciones requeridas ocurren sólo una vez cada aproximadamente 26 meses. Para volar de regreso de Marte a la Tierra la elipse de Hohmann se puede utilizar también, pero igualmente, los planetas necesitan estar posicionados en el lugar exacto en el momento del lanzamiento. Si los astronautas de la Tierra alguna vez llegan a la superficie de Marte, deberán escoger entre esperar más de un año para tener las condiciones correctas necesarias, o tomar un camino a casa más directo pero menos económico.

    A continuación se calcula esta demora. También se incluye el concepto del período sinódico de Marte: su período orbital como es visto desde la Tierra en órbita.

Las Órbitas de Hohmann: hacia y desde Marte

Marte y la Tierra al comienzo y final de la órbita de transferencia.

    Los círculos utilizados a la izquierda se utilizarán para marcar el movimiento de la Tierra (el círculo interior) y de Marte (el círculo exterior) alrededor de sus órbitas.

    Como se mostró en la sección #21b, cuando una nave espacial se lanza de la Tierra a Marte, ambos deben estar en los puntos indicados por "1". Después de 0,70873 años, la nave llega a Marte, que se ha movido mientras tanto al punto marcado como "2". ¿Dónde está la Tierra en ese momento? En un año, se mueve aprox 360 grados, así que en 0,70873 años se desplaza

(0,70873) (360) = 255,14°

ésta alcanzará por lo tanto la posición "2" en el círculo interior, 75,14 grados pasada la posición de Marte. Advierta cómo la Tierra ha alcanzado a Marte: en el lanzamiento (posicion "1") estaba retrasada, pero ahora está adelantada. Como muestra la tercera ley de Kepler, cuanto más cerca está un planeta del Sol, más rápido completa su órbita, y la Tierra está más cerca que Marte.

    Suponga que la nave espacial que ha aterrizado en Marte es un robot, que toma una muestra e inmediatamente despega para su viaje del regreso. Despegando desde el punto (2), después de liberarse de la gravedad del planeta, otra vez puede seguir la elipse de transferencia de Hohmann, en una imagen espejo del vuelo a Marte (dibujado abajo).

    Su viaje empieza con un empuje inverso de 2,545 km/s, reduciendo su velocidad orbital de V₃ a V₂. Entonces, después de 0,70873 años, llega otra vez al punto marcado (1) con la velocidad V₁, la cual necesita ser reducida a la velocidad orbital de la Tierra V₀ mediante un empuje inverso de 2,966 km/s. Desgraciadamente... ¡La tierra no estará esperando allí!

El Período Sinódico

Marte y la Tierra al comienzo del viaje de regreso

    Veamos donde debería estar la Tierra en el momento del lanzamiento desde Marte, para que el vuelo de regreso la encuentre en el momento apropiado.

El viaje de regreso, siendo la mitad de la elipse de Hohmann, toma 0,70873 años, durante este tiempo (calculado arriba) la Tierra cubre un arco de 255,14 grados en su órbita. Para encontrar al cohete del regreso cuando alcanza la órbita de la Tierra en el punto (1), la Tierra debe estar, al comienzo del vuelo del regreso de Marte, 255,14º detrás del punto "1" en su órbita. Eso la sitúa en la posición (3), 75,14º detrás de la posición de Marte, no en la posición (2) donde la Tierra está 75,14º adelantada sobre Marte.

    Debido a que la Tierra y Marte cambian constantemente su posición relativa, es lógico que si demoramos suficientemente el viaje del regreso, la Tierra se moverá de la posición (2) relativa a Marte, a la posición (3), en ese momento el viaje de regreso puede empezar.

Calculemos esa demora. Para simplificar el cálculo de la demora, calculamos la velocidad relativa de la rotación entre la Tierra y Marte alrededor del Sol.

• La velocidad de la rotación de la Tierra es 1 órbita por año.

• La velocidad de la rotación de Marte es 1 órbita por 1,8822 años, es decir 1/1,8822 = 0,531293 órbitas por año.

    Cada año, la Tierra se adelanta a Marte por (1 – 0,531293) = 0,468707 órbitas. En 2 años, el adelantamiento es (2) (0,468707) = 0,937414 órbitas y la Tierra estará una órbita completa adelantada después de

1 / 0,468707 = 2,13353 años

Si Marte y la Tierra comienzan uno al lado del otro, después de 2,13353 años estarán otra vez parejos. Desde el punto de vista de un observador en la Tierra, ese es el tiempo requerido por Marte para un círculo completo alrededor del cielo. Es conocido como el período sinódico de Marte, y es aproximadamente de 25,6 meses.

    Lo demás es fácil. Para que la Tierra cambie su posición relativa a Marte de (2) a (3), la Tierra debe avanzar (relativa a Marte):

360 – (2)(75,14) = 209,72°

Para avanzar 360 grados tarda 2,13353 años, así que para recorrer el ángulo de arriba tardará

(209,72 / 360)( 2,13353) = 1,2429 años = 454 días

    Un cálculo más exacto da 459 días (el nuestro contiene aproximaciones). Cuando el cohete de regreso llega a la Tierra, éste estará sobrepasándola, ya que su velocidad V₁ excede la velocidad orbital V₀ de la Tierra en aproximadamente 3 km/s. Antes de descender sin peligro, la nave espacial debe deshacerse también de la velocidad V₀ dada por la atracción de la Tierra, aproximadamente 11,3 km/s. Sin embargo, si entra rozando la atmósfera del “modo correcto”, su energía cinética extra se disipará seguramente en forma de calor, sin más necesidad de encender los cohetes.

Reflexiones finales

    Nuestros esquemas sólo marcan el progreso en órbitas circulares alrededor del Sol, que mantienen aproximadamente la misma velocidad. El movimiento relativo de la Tierra y Marte en el cielo es mucho más variable, porque la distancia Tierra-Marte cambia todo el tiempo. En realidad, cuándo la Tierra está más cerca de Marte y lo ha sobrepasado, Marte parecerá (por un tiempo) estar moviendose hacia atrás entre las estrellas. El período total sin embargo sigue siendo 25,6 meses, bastante diferente del período orbital verdadero de Marte que es 1,8822 años = 22,6 meses.

    Considerando todas esas complicaciones, uno puede apreciar la sutileza del trabajo de Copérnico y Kepler, quienes obtuvieron patrones nítidos y regulares del movimiento, partiendo de otros mucho menos regulares de los planetas de los cielos.