Votre ligne de vue vers l'horizon est tangente à la terre, selon une droite rasant la sphère terrestre au point marqué B sur le schéma. Par un théorème bien connu de la géométrie, si O est le centre de la sphère terrestre, cette tangente est perpendiculaire au rayon OB, c.-à-d. qu'elle fait un angle de 90° avec elle.

Le triangle OAB obéit au théorème de Pythagore, qui peut être ici écrit:

(OA)² = (AB)² + (OB)²

ou, si la longueur de chaque segment est définie

(R + h)² = D² + R²

Par une identité algébrique (voir "le rafraîchissement mathématique"), le côté gauche de l'équation est égal à R² + 2Rh + h²,

et donc :

R² + 2Rh + h² = D² + R²

On enlève R² des 2 côtés de l'équation, et la formulation restante du côté gauche est réarrangée :

h(2R + h) = D²

Le diamètre 2R de la terre est beaucoup plus grand que h, et donc l'erreur si (2R+h) est remplacé par 2R est très, très petite. Ce remplacement donne :

2Rh = D²

D = √(2Rh)

( √ représente ici "la racine carrée"). Cette équation permet de calculer D, en kilomètres, si h et R sont aussi donnés en kilomètres.

√(2Rh) = (√(2R)) x (√(h))

D = 112.88 km √(h)

    Au sommet d' une montagne haute de 1 kilomètre, h = 1 kilomètre et votre horizon devrait être à 112.88 kilomètres (nous négligeons la réfraction de la lumière par l'atmosphère, qui peut modifier cette valeur).
A partir du sommet du Mauna Kea à Hawaii, un volcan éteint d'environ 4 kilomètres de hauteur ( et aussi l'emplacement d'observatoires astronomiques importants), l'horizon devrait être environ deux fois plus éloigné, 226 kilomètres. D'autre part, si on est sur la plage avec les yeux à 2 mètres de haut = 0.002 kilomètre au-dessus de l'eau, l'horizon n'est plus qu'à 5 kilomètres puisque √(0.002) = 0.04472

    Le calcul est réciproque. D'un bateau sur l'océan vous pouvez commencer à voir le sommet du Mauna Kea dès la distance de 226 kilomètres (toujours, sans compter la réfraction).

    Le 15 novembre 1806, le lieutenant Zebulon Pike, de l'armée des USA, explorant les plaines des USA dans le centre ouest, a vu dans ses jumelles le sommet d'une crête éloignée juste au-dessus de l'horizon. Il lui a fallu une partie d'une semaine pour couvrir les 100 milles qui le séparait de la montagne, maintenant connue comme " Pike's Peak ", "Le Pic de Pike ", une des plus haute du Colorado. Il a entrepris son ascension, mais la neige et la taille inattendue de la montagne l'ont fait échouer.