Il s'avère que l'utilisation la plus efficace de la poussée de la fusée pour atteindre Mars est l'ellipse de transfert de Hohmann. D'autres trajectoires sont plus rapides, mais exigent plus de poussée au départ et une correction plus grande à l'arrivée, incluant peut-être un changement de la direction.

    Y a t il des inconvénients ? Un seul : la condition très rigoureuse sur les positions relatives de la Terre et de Mars à l'heure du lancement. Comme nous le verrons, ces conditions ne se produisent qu'une fois tous les 26 mois. Pour revenir de Mars à la Terre, l'ellipse de Hohmann peut encore être utilisée, mais les planètes doivent aussi être correctement positionnées à l'heure du lancement. Si des hommes débarquent un jour sur Mars, ils auront à choisir entre attendre plus d'un un an pour retrouver de bonnes conditions, ou adopter un trajet de retour plus direct mais moins économique.

    Dans ce qui suit ce délai est calculé. Cela fait intervenir le concept de la période synodique de Mars, sa période orbitale vue de l'orbite de la terre.

Orbites de Hohmann : Mars aller et retour

Mars et la terre en début et en fin de l'orbite de transfert

    Les cercles (ici à gauche) indiquent les orbites de la terre (cercle intérieur ) et de Mars (cercle exterieur)

    Nous avons vu dans la section 21b, à propos du lancement d' un vaisseau spatial de la terre vers Mars, qu'ils devaient partir d'un point noté "1." Après 0.70873 an, le vaisseau arrive sur Mars, qui s'est pendant ce temps déplacé au point "2." Où est la terre à ce moment-là ? En un an, elle parcourt 360 degrés, et donc en 0.70873 an :

Elle sera donc en position "2" sur le cercle intérieur, à 75.14⁰ au delà de la position de Mars. Notez que la terre a dépassé Mars : Lors du lancement (position"1") elle était derrière, mais maintenant elle est en devant. En effet, la 3ème loi de Kepler montre que plus une planète est proche du soleil, plus elle accomplit rapidement son orbite, c' est le cas de la terre .

    Supposons que le vaisseau spatial débarqué sur Mars soit un robot collectant un échantillon et qui redécolle immédiatement pour son voyage de retour. Partant du point (2), il peut de nouveau suivre l'ellipse de transfert de Hohmann, après s'être libéré de la pesanteur de la planète, dans une image miroir du vol aller (dessin )

    Son voyage commence par une poussée inverse de 2.545 km/s, ramenant sa vitesse orbitale de V₃ à V₂. Puis, après 0.70873 an, il arrive de nouveau au point marqué (1) avec une vitesse V₁, qui doit être réduite à la vitesse orbitale ₀ de la terre, par une poussée d'inversion de 2.966 km/s. Malheureusement., la terre n'est pas au rendez vous !

La Période Synodique

Mars et la Terre au début du voyage de retour

    Examinons où devrait être la terre à l instant du départ de Mars, pour que le vol de retour la rencontre au bon moment.

    Ce voyage de retour, étant une moitié de l'ellipse de Hohmann, dure 0.70873 an ; pendant ce temps (comme déjà calculé ) le trajet de la terre sur son orbite est un arc de 255.14⁰. Pour que la rencontre se fasse au point (1) ), il faut que la terre soit derrière le point "1" au départ du vol de retour de Mars de 255.14⁰. Cela la place à la position (3), 75.14⁰ derrière la position de Mars, et non en position (2) où la terre est 75.14⁰ devant Mars.

    Puisque la position relative de la terre et de Mars change constamment, on peut dire qu' en retardant suffisamment l' instant du voyage de retour, la terre passera de la position (2) ,relativement à Mars, à la position (3), et qu'alors le départ peut commencer.

Calculons cette attente. Pour simplifier le calcul, calculons la vitesse relative des rotations de la terre et de Mars autour du soleil.

• La vitesse de rotation de la terre est de 1 orbite par an.
• La vitesse de rotation de Mars est de 1.8822 orbites par an.

    Le rapport des vitesses est donc de 1/1.8822 = 0.531293 orbite par an.
Tous les ans, la terre avance sur Mars de (1 - 0.531293) = 0.468707 orbite
    En 2 ans, l'avance est de (2)(0.468707) = 0.937414 orbite
    La terre aura une avance d'une orbite complète en :

Si Mars et la terre sont l'un en face de l'autre au début de leurs cercles, ils le seront de nouveau après 2.13353 ans. Vu d'un observateur sur terre, c'est le temps qu'il faut à Mars pour accomplir un cercle entier dans le ciel. Ce temps est défini comme période synodique de Mars, et correspond environ à 25.6 mois.

    Le reste est facile. Pour que la position relative Terre Mars passe de (2) à (3), la terre doit devancer Mars de :

Puisqu'il faut 2.13353 ans pour une avance de 360°, il faudra pour cet angle: :

    Un calcul plus précis donne 459 jours (le nôtre contient des approximations). Quand la fusée de retour arrive au niveau de la terre, elle la rattrapera , puisque sa vitesse V₁ dépasse la vitesse orbitale V₀ de la terre d'environ 3 km/s. Pour descendre sans risque vers la terre, le vaisseau spatial doit donc auparavant se débarrasser de la vitesse v₀ due à l'attraction de la terre, environ 11.3 km/s. Mais, si elle s'introduit dans l'atmosphère sous un angle juste correct, son énergie cinétique excédentaire sera transformée sans risque en chaleur, sans avoir besoin d'une autre mise à feu de fusée.

Post Scriptum

    Nos raisonnements ne concernent que des orbites circulaires autour du soleil, approximativement à vitesse constante. Le mouvement relatif de la Terre et de Mars dans le ciel est en fait beaucoup plus variable, parce que la distance Terre - Mars varie constamment. En effet, quand la terre est au plus proche de Mars et la rattrape, Mars semble (pendant un moment) rétrograder parmi les étoiles. La période synodique totale demeure cependant de 25.6 mois, tout à fait différente de la période orbitale réelle de Mars qui est de 1.8822 an = 22.6 mois.

    Au vu de toutes ces complications, on peut pleinement apprécier la subtilité des travaux de Copernic et de Kepler, qui ont su séparer les mouvements "errants" des planètes, de ceux "réguliers" propres au ciel.