I vettori come estensione dei numeri

L'idea dei numeri si è sviluppata molto gradualmente. Dapprima vennero gli interi positivi -- 1,2,3... (non lo zero, che è stata un'aggiunta molto più recente) per descrivere gli oggetti contabili, come le pecore, i giorni, i membri della tribù, ecc.

Il concetto dei numeri negativi può essere stato originato da un'estensione della sottrazione, o forse dal denaro -- il denaro dovuto era una ricchezza "negativa", scritta in rosso nel registro contabile.

Oggetti che potevano essere suddivisi, come per esempio le terre, portarono alle frazioni. Attorno al 500 a.C. uno studente di Pitagora dimostrò che il numero corrispondente alla radice quadrata di 2 non poteva essere espresso come una frazione; questo non aveva molto senso per quei tempi, per cui ancora oggi chiamiamo quei numeri "irrazionali". Con questi numeri, interi, frazioni e irrazionali, può essere descritto tutto ciò che ha una dimensione, una grandezza.

Ma come facciamo a descrivere una velocità, che ha, oltre a una grandezza, una direzione?

Con un vettore, naturalmente.

Somma di vettori

Le velocità possono essere sommate. Supponiamo che un aeroplano voli a 200 km/ora con un vento in coda di 100 km/ora. Quanto velocemente si sposta rispetto al suolo? Facile: per ogni 200 km di percorso, il vento lo trasporta in avanti di altri 100 km, per cui la risposta è

Graficamente, ogni distanza sul suolo, od ogni velocità, può essere rappresentata da una freccia che dà la direzione, e la cui lunghezza rappresenta la grandezza: per esempio, una freccia AB lunga 200 mm (millimetri) corrispondente al moto dell'aeroplano e un'altra BC, lunga 100 mm, nella stessa direzione, corrispondente al vento. Per sommare le due velocità, basta posizionare le due frecce, una di seguito all'altra, come nella figura più in alto, qui accanto.

e la "somma delle frecce" (figura centrale) ce lo conferma.

Supponiamo adesso che la rotta dell'aereo sia diretta verso est, ma con un vento di 150 km/ora che soffia di lato verso nord-est: in che direzione si muoverà l'aereo, e quanto velocemente? L'intuizione questa volta non ci aiuta, ma il metodo della somma delle frecce funziona ancora (figura più in basso, non in scala).

Come regola generale, la combinazione delle due velocità porta l'aeroplano, in un'ora, nello stesso punto che si raggiungerebbe se la prima velocità e poi la seconda agissero separatamente durante un'ora di tempo. Come ci si può aspettare, la direzione combinata corrisponde a una via di mezzo tra est e nord.

  Tutti i vettori possono essere addizionati in questo modo, come frecce collocate con la coda dell'una sulla punta della precedente. Esiste comunque anche un altro metodo, spesso più facile da usare, che verrà descritto più avanti.

Scomposizione di un vettore nei suoi componenti

  Supponiamo che un dato singolo vettore sia rappresentato dalla freccia AB nel disegno, e desideriamo scomporlo nella somma di due vettori diretti lungo AA' e AA". Tracciamo due linee lungo AA' e AA", e inoltre due linee parallele ad esse che finiscano nel punto B, l'altra estremità del vettore. Se AA' e AA" sono perpendicolari tra loro (che è il caso più usuale), queste linee racchiuderanno un rettangolo ACBD, di cui AB è la diagonale. È ora evidente che AC e CB costituiscono la soluzione del nostro problema, e, con una addizione di vettori

AC + CB = AB

Uso delle componenti di un vettore

(a) Sommare molti vettori

  Un modo molto più rapido è quello di scegliere due direzioni perpendicolari tra loro: con la notazione delle coordinate cartesiane, una direzione sarà chiamata la "direzione x" e l'altra la "direzione y". Si scompone quindi ogni vettore V in una "componente x" V_x lungo la direzione x e una "componente y" V_y lungo la direzione y.

   Adesso abbiamo non 10 ma 20 vettori che devono essere addizionati, ma il lavoro è molto più facile. Di questi vettori, 10 sono allineati con la direzione x, e vettori nella stessa direzione (come le velocità con il vento in coda e contro vento nel precedente esempio dell'aeroplano) si sommano come numeri ordinari. Lo stesso vale per gli altri 10 vettori allineati con la direzione y. Il problema si riduce a una fila di ordinarie addizioni e sottrazioni (vettori orientati in verso opposto hanno il segno negativo), e soltanto l'ultima fase -- quella di sommare tra loro il totale della direzione x con il totale della direzione y -- richiede un procedimento di somma di vettori.

Nota: Il mondo reale è tridimensionale, e così sono i vettori. Anche i vettori in tre dimensioni possono però essere decomposti, ciascuno di essi risultando uguale alla somma di tre vettori nelle direzioni (x, y, z), e il rettangolo diventa un parallelepipedo, cioè una sorta di scatola rettangolare. Le componenti dello stesso tipo possono essere addizionate come nel caso bidimensionale visto sopra, e l'addizione finale comporta soltanto una somma dei vettori con ciascuna orientazione. Il vettore somma è ora la diagonale della scatola rettangolare, di cui le tre somme sono i lati.

(b) Calcolare un vettore somma

Riprendiamo l'esempio precedente dell'addizione di vettori -- un aeroplano che vola verso est a 300 km/ora (la sua velocità anemometrica, cioè la sua velocità rispetto all'aria), mentre un vento a 150 km/ora soffia verso nord-est. Il triangolo che rappresenta la somma vettoriale di questo esempio si trova in fondo alla prima figura di questa sezione.

Sia la direzione x quella verso est e la direzione y quella verso nord. Allora, le componenti (x,y) della velocità sono, in km/ora,

• --quelle della velocità rispetto all'aria, (300,0)
• --quelle della velocità del vento (150 cos 45^o,150 sin 45^o) = (106, 106)

Questo risultato fornisce la velocità totale V. Per il teorema di Pitagora,

e quindi la grandezza di V è approssimativamente 420 km/ora, dove l'angolo acuto nel punto A della figura (che pure chiameremo A) soddisfa la relazione

Da cui risulta che A è circa 16,62 gradi.

(c) Il piano inclinato

• Una è perpendicolare alla superficie, è rappresentata dal segmento AC ed ha una grandezza pari a W cos s. Questa forza è completamente annullata dalla resistenza della superficie, la quale non consente alcun moto in quella direzione. Se nel moto si considera l'attrito, tuttavia, la forza di attrito è proporzionale a questa componente.

• L'altra forza è parallela alla superficie, è rappresentata dal segmento AD, ha una grandezza W sin s, se non c'è nessun attrito a ostacolare il moto, ed è quella che consente al blocchetto di accelerare in quella direzione. La forza è più piccola del peso W di un fattore moltiplicativo sin s, un numero sempre più piccolo di 1, mentre la massa del blocchetto resta inalterata. La sua accelerazione è quindi ridotta dello stesso fattore e non corrisponde a g, come avverrebbe in caduta libera, ma è soltanto g sin s.