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(11) Gráficas y Elipses

Las leyes del movimiento orbital son matemáticas y no podemos explorarlas sin algún conocimiento de las mismas. Lasque utilizamos aquí son bastante elementales. Si necesita repasarlas pulse aquí. También puede saltarse las ecuaciones y seguir la narración.

Descripción Matemática de una Curva

Como ya se ha dicho, el sistema cartesiano designa a cualquier punto en el plano (p. ej. sobre una hoja de papel) con un par de números (x,y) que son las distancias a dos ejes perpendiculares. Esos números se conocen como "coordenadas" del punto.

Una línea en el plano, recta o curva, contiene muchos puntos, cada uno con sus propias coordenadas (x,y). Con frecuencia existe una fórmula ("ecuación") que relaciona x e y:

por ejemplo, la línea recta tiene la relación

y = ax + b

donde con cualquier par de números (a,b), positivos, negativos o cero, se obtiene como resultado una línea recta. Otras relaciones más complicadas dan lugar a curvas. El trazado de una línea dado por tales relaciones (ó por cualquier relación, hasta una simple observación, p.e. la temperatura en el tiempo--se conoce como una gráfica. Relaciones más complicadas dan gráficas que son curvas:
por ejemplo

y = ax²

es una parábola, siendo a cualquier número. Normalmente y está aislada (aunque no siempre), entonces la fórmula tiene la forma

y = f(x)

donde f (x) simboliza "cualquier expresión que implique a x" o, en términos matemáticos, una "función de x". Las curvas dibujadas aquí son la línea recta y= -(2/3)x + 2 y la parábola y = x². A continuación va una lista de algunos de sus puntos.

Línea recta:

x	-1	0	1	2	3	4
y	8/3	2	4/3	2/3	0	-2/3

Parábola:

x	-2	-1.5	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5	2
y	4	2.25	1	0.25	0	0.25	1	2.25	4

La ecuación del Círculo

En la mayoría de las gráficas generadas por fórmulas, la formula está dado en la forma

y = f(x)

Tal forma hace muy facil encontrar los puntos en la gráfica. Todo lo que hay que hacer es elegir x, calcular f(x) (= alguna expresión dada que implique a x) y tendremos el valor correspondiente de y.

Sin embargo, cualquier ecuación concerniente a x e y puede ser usada como la propiedad compartida por todos los puntos de la gráfica. La diferencia principal es que en ecuaciones más complicadas, después de elegir la x, encontrar la y correspondiente requiere trabajo extra, ( y algunas veces es más fácil elegir la y y encontrar la x).

Quizá la gráfica más conocida de este tipo es el círculo de radio R, cuya ecuación es

x² + y² = R²

Dibujar un círculo de radio R centrado en el origen O de un sistema de ejes (x,y). Determinado algún punto P en el círculo con los valores especificados de (x,y), dibujar una línea perpendicular desde P hasta el punto A en el eje de las x. Luego

x = OA y = AP R = OP

Aquí x y/o y pueden ser negativas, si están hacia la izquierda del eje de las y o por debajo del eje de las x, pero a pesar del signo, x² e y² son ambas siempre positivas. Puesto que el triángulo OAP tiene un ángulo de 90°, por el teorema de Pitágoras, para cualquier elección de P, la relación de abajo siempre contiene:

OA² + AP² = OP²

También se puede escribir

x² + y² = R²

La ecuación del círculo es cumplida por cualquier punto localizado en el. Por ejemplo, si la gráfica está definida por la ecuación:

x² + y² = 25

esta ecuación se cumple por todos los puntos listados abajo:

x	5	4	3	0	-3	-4	-5	-4	-3	0	3	4	( 5 )
y	0	3	4	5	4	3	0	-3	-4	-5	-4	-3	( 0 )

La Ecuación de una Elipse

La ecuación del círculo aún expresa la misma relación si ambos lados se dividen por R²:

(x²/R²) + (y²/R²) = 1

La ecuación de una elipse es esa misma con una pequeña modificación:

(x²/a²) + (y²/b²) = 1

donde (a,b) son dos números dados, por ejemplo (8,4). ¿Cual será la gráfica de esa ecuación? Cerca del eje x y es muy pequeña y la ecuación se acerca casi a

(x²/a²) = 1

De donde

x² = a² y por lo tanto x = a ó x = -a (a veces combinado con x = ±a)

La gráfica en esas cercanías se asemeja a la sección de un círculo de radio a, cuya ecuación

(x²/a²) + (y²/a²) = 1

en esta región también está cercana a x² = a². De la misma forma puede observar que cerca del eje de las y, donde x es pequeña, la gráfica corta el eje en y=±b y su figura aparenta la de un círculo de radio b.

Un ejemplo

Déjenme dibujar la elipse

(x²/64) + (y²/16) = 1

Ya sabemos que corta los ejes en x=±8 y en y=±4. Déjenme ahora añadir algunos pocos puntos:

(1) Escoger y = 2 . Luego de la ecuación

(x²/64) + (4/16) = 1

Restar 1/4 en ambos lados

(x²/64) =3/4

Extraigan la raíz cuadrada (indicada aquí por las letras √) y obtenga solo 3-4 decimales:

x/8 = √(3)/√(4) = 1.732/2 = 0.866

de la cual x = 6.93 con una exactitud razonable.

(2) Escoger y = 3 . Luego de la ecuación

(x²/64) + (9/16) = 1

Restar 9/16 en ambos lados

(x²/64) =7/16

Extraigan la raíz cuadrada (hasta una precisión de 3-4 decimales):

x/8 = √(7)/√(16) = 2.6457/4 = 0.6674

de la cual, aproximadamente, x = 5.29

De nuevo, x e y pueden ser de cualquier signo. Obtenemos 12 puntos, suficientes para una gráfica tosca:

x	8	6.93	5.29	0	-5.29	-6.93	&nbbsp; -8	--6.93	-5.29	0	5.29	6.93	( 8 )
y	0	2	3	4	3	3	0	-2	-3	-4	-3	-2	( 0 )

Visión Diferente de la Elipse

La serie de todos los puntos para los
que R1 + R2 tienen el mismo valor
es una elipse

La elipse era ya muy familiar para los antiguos científicos griegos (que se denominaban "filósofos", amantes de la sabiduría), pero ellos la definían de otra manera. Para ellos la elipse era la serie de todos los puntos (en el plano) para los que la suma de las distancias R₁ + R₂ desde dos puntos dados era la misma (vea el dibujo).

Era una extensión natural de la definición de un círculo, que es la serie de todos los puntos a la misma distancia (el radio R) de un punto dado (el centro). Un punto define el círculo, dos la elipse.

Los dos puntos son denominados los focos de la elipse, y son importantes aquí porque Kepler descubrió que el Sol siempre ocupa un foco de la elipse orbital, no el centro, como se podría pensar, p.e. el origen, donde la elipse está determinada por su ecuación en un sistema de ejes perpendiculares (x,y).

(x²/a²) + (y²/b²) = 1

Los focos están siempre localizados a lo largo de uno de los dos ejes simétricos de la elipse, los ejes (x,y) cuando se usa la ecuación superior, el eje mayor de la elipse. Si a es mayor que b, el eje mayor se sitúa al lo largo del eje de las x, y lo decimos para mostrar que en este caso

R₁ + R₂ = 2a

[Pista: Haga un croquis de la elipse y los ejes que la definen, marque uno de los puntos donde cruza el eje de las x y analice R₁ y R₂ de este punto]. El valor de a en una órbita elíptica se conoce en astronomía como el eje semi-mayor y está considerado como uno de los seis elementos orbitales que definen el movimiento de acuerdo a las leyes de Kepler.

Murmullos en el Capitolio de los EE.UU.

Los focos de una elipse tienen una propiedad interesante. Un elipsoide de revolución es una figura tridimensional obtenida rotando una elipse alrededor de uno de sus ejes. Si se hace una elipsoide hueca de esta figura y se platea su interior como si fuera un espejo, y si una fuente luminosa se coloca en uno de sus focos, todos sus rayos convergirán en el otro foco. Aunque solo se platee una parte del elipsoide, toda la luz que llega a esa parte se concentrará en el otro foco.

Las ondas sonoras también pueden comportarse como la luz. La cámara del Capitolio de Washington en la que la Cámara de Representantes acostumbran a reunirse tiene un techo de la forma de un cuadrante (mitad de la mitad) de un elipsoide, con sus focos cerca del suelo. Se hizo por razones arquitectónicas, hace unos 200 años, pero permite a una persona en un foco lograr oir a cualquiera hablando en el otro foco, hasta murmullos. Supuestamente, Daniel Webster se sentaba en uno de estos lugares y hacía buen uso de su carácter especial.

Hoy en día la Cámara de Representantes tiene muchos más miembros, usan cámaras mayores y su antigua sala de reuniones es un museo que exhibe estatuas de americanos distinguidos.

Cada año varios miles de visitantes son guiados s través de la cámara. En algún momento durante su visita, se reúnen en ó cerca de un foco, identificado por una marca de bronce en el suelo, para escuchar los murmullos de su guía que está en el otro foco. Por cierto, un cuadro muy conocido de esta cámara, con las caras de sus ocupantes claramente identificables, fue hecha por Samuel Morse, el artista que también inventó el telégrafo eléctrico. Una copia de este cuadro y su historia se muestran en la sala.

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Próxima etapa, para los que estén
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Trigonometría--¿Para que sirve?

En otro caso, la próxima parada es: #12 La 2ª Ley de Kepler

Author and Curator: Dr. David P. Stern
Messages to Dr.Stern: stargaze("at" symbol)phy6.org (English, please) .

Spanish translation by J. Méndez

Last updated 13 December 2001

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