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(M-9) Deducir los Senos y los Cosenos

Deducir el seno o el coseno de un ángulo arbitrario, necesita algo más de matemáticas que las tratadas aquí. Sin embargo, deducirlos de algunos ángulos especiales es relativamente directo.

Ángulos Complementarios

Primero observe que un triángulo rectángulo tiene dos ángulos. Como los tres ángulos (de cualquier triángulo) suman 180º, los dos ángulos agudos suman 90º. Por lo que resulta que si uno de los ángulos es de A grados, el otro (su "ángulo complementario") es de (90º-A).

El seno y el coseno se definen con las siguientes relaciones:

sen A = (lado opuesto a A)/(lado largo)
cos A = (lado adyacente a A)/(lado largo)

Como el lado opuesto a A es el adyacente a (90°- A), resulta que el seno de un ángulo es el coseno del otro y viceversa:

sen A = a/c = cos (90° - A)
cos A = b/c = sen (90° - A)

Esto es de gran ayuda: deducir, por ejemplo, el seno y el coseno de 30º nos proporciona el seno y el coseno de 60°.

(1) A = 45°

Si A = 45°, entonces también (90° - A) = 45°, y por consiguiente

sen 45° = cos 45° Elevando al cuadrado

Sin embargo, anteriormente se halló que para cualquier ángulo A

Por lo tanto

sen² 45° = 1/2

y si √ significa "raíz cuadrada de"

Pulsando el botón de su calculadora obtiene

sen 45° = 0.707107... = cos 45° Otra forma, algo más transparente, es escribir

sen 45° = √(2)/√(4) = √(2)/2

La raíz cuadrada de 2 es 1.4142135..., dividiéndola por dos se obtiene, como antes, 0.707107.

(2) A = 30°, (90° - A) = 60°

Considere el triángulo PQR (dibujo) con los tres ángulos iguales a 60°. Por simetría, los tres lados son también iguales (existe una comprobación más rigurosa, pero la obviamos). Dibuje una línea QS perpendicular a PR: divide al triángulo original en dos triángulos rectángulos con los ángulos agudos de (30°, 60°), que son del tipo que nos interesa. Por simetría, los triángulos son de igual tamaño y forma ("congruentes") y por consiguiente, (obviando cualquier otra comprobación)

En la notación del dibujo

a/c = 1/2 = sen 30° = cos 60°

Continuando

Pero

Así que

Restando 1/4 de ambos lados

cos 30° = √(3)/ √(4) = √(3)/2 = 1.7320508/2

cos 30° = 0.8660254 = sen 60°

(3) A = 90° , (90° - A) = 0

Será bastante más difícil dibujar un triángulo rectángulo con un segundo ángulo también de 90º, debido a que el tercer ángulo deberá ser de 0º. Pero podemos visualizar este extraño triángulo como un caso límite de triángulos finos con un ángulo A que es muy pronunciado y su complementario (90° - A) muy pequeño (dibujo). En el caso límite

cos A = b/c = 0

y como

1 = sen²A + cos²A = sen²A + 0

resulta que

sen²A = 1 sen A = 1

Por consiguiente

cos 90° = sen 0° = 0
sen 90° = cos 0° = 1

En la tabla completa se lee

A	0°	30°	45°	60°	90°
sen A	0	0.5	0.707107	0.866025	1
cos A	1	0.866025	0.707107	0.5	0

Podrá dibujar una buena gráfica de los senA y cosA usando los puntos anteriores

(4) Postgraduado: A = 15°, (90° - A) = 75°

Las deducciones y tabla anteriores un procedimiento estándar en cualquier curso o texto de trigonometría. Sin embargo observará los huecos entre 0° y 30°, y entre 60° y 90°. Si queremos que el ángulo A se incremente en pasos iguales de 15^o, necesitaremos los senos y cosenos de 15° y 75°.

¿Está interesado? Aquí está lo que deberemos hacer; ¡tome su calculadora!

Dibuje un triángulo ABC, con un ángulo A igual a 30° y los dos ángulos de la base igual a 75° ambos. Luego dibuje la línea BD perpendicular a AC (vea el dibujo de la derecha). Por simetría, los lados AB y AC tienen la misma longitud; denomine la longitud por la letra a.

El triángulo ABD tiene ángulos de 90, 60 y 30 grados, y es del tipo examinado anteriormente. Obtenemos

BD = a sen 30° = 0.5 a
AD = a cos 30° = 0.866025 a

Luego

DC = AC - AD = a - 0.866025 a = 0.133975 a

Ahora mire el triángulo BDC: sus ángulos mayores son iguales a 90° y 75°, obligando al ángulo restante a ser igual a 15°. Usando el teorema de Pitágoras, si denominamos c al lado más largo, obtenemos

BD² + CD² = c² = (0.5 a)² + (0.133975 a)²
= 0.25 a² + 0.0179493 a² = 0.2679493 a²

Extrayendo la raiz cuadrada

c = 0.517638 a

Por esto, a 5 decimales (e implicando igualmente al ángulo complementario de 75° )

sen 15° = 0.133975/0.517638 = 0.25882 = cos 75°
cos 15° = 0.500000/0.517638 = 0.96593 = sen 75°

Ahora vaya y dibuje su gráfica.

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Author and Curator: Dr. David P. Stern
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Spanish translation by J. Méndez

Last updated 13 December 2001

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