(M-9) Calculs de certains sinus et cosinus
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Le calcul du sinus ou du cosinus d'un angle quelconque demande un peu plus de maths qu'il n'est vu ici. Cependant, ce calcul pour quelques angles spéciaux est relativement facile. Angles complémentairesNotez d'abord que tous les triangles droits possèdent deux autres angles, aigus. Puisque la somme des trois angles (de tout triangle) vaut 180°,celle des deux angles aigus vaut 90°. Il s'en suit que si un des angles est exprimé en " A degrés ", l'autre (son "angle complémentaire") vaut (90° – A). Le sinus et le cosinus ont été définis comme les rapports suivants sin A = = (côté en face de A)/(grand côté) Puisque le côté qui est en face de A est celui qui est adjacent à (90° – A), il s'en suit que le sinus d'un angle est le cosinus de l'autre, et réciproquement : sin A = a/c = cos (90° – A) Ceci est d'un grand secours : le calcul (par exemple) du sinus et du cosinus de 30° nous donne en prime le sinus et le cosinus de 60°. (1) A = 45°
Si A = 45°, on a aussi (90° – A) = 45°, et donc
sin2 45° = 1/2
sin 45° = √(2)/√(4) = √(2)/2
(2) A = 30°, (90° – A) = 60°
Considérez le triangle PQR (dessin) ayant chacun de ses trois angles égaux à 60°. Par symétrie, chacun des trois côtés sont aussi égaux (une preuve plus rigoureuse existe, mais nous la négligeons). Tracez une ligne QS perpendiculaire à PR. : elle divise l'angle principal en deux triangles droits dont les angles aigus valent (30°, 60°), ce que nous recherchons. Par symétrie, ces triangles sont de taille et de forme égales ("conformes") et donc (en omettant une autre démonstration)
On note dans le schéma :
a/c = 1/2 = sin 30° = cos 60°
Enlevons 1/4 des deux côtés
cos 30° = √(3)/ √(4) = √(3)/2 = 1.7320508/2 cos 30° = 0.8660254 = sin 60°
(3) A = 90° , (90° – A) = 0
Il serait plutôt difficile de tracer un triangle droit dont un deuxième angle serait 90° parce que le troisième devrait alors être de 0°. Mais nous pouvons imaginer ce triangle étrange comme la limite d'un triangle très effilé avec un angle A très ouvert et son complément (90° – A) très fermé (dessin). Dans ce cas limite
cos A = b/c = 0 et puisque 1 = sin2A + cos2A = sin2A + 0 il s'en suit : sin2A = 1 sin A = 1 Par conséquent cos 90° = sin 0° = 0 |
Mis en tableau, on obtient :
| A | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin A | 0 | 0.5 | 0.707107 | 0.866025 | 1 |
| cos A | 1 | 0.866025 | 0.707107 | 0.5 | 0 |
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On peut établir un graphique assez correct de sinA et de cosA en utilisant les points ci-dessus. (4) Niveau supérieur : A = 15°, (90° – A) = 75°
Les calculs et la table précédente sont courants dans pratiquement tous les cours ou textes sur la trigonométrie. Vous noterez cependant des lacunes entre 0° et 30°, et entre 60° et 90°. Si nous voulons développer l'angle A par étapes de 15°, nous avons maintenant besoin des sinus et des cosinus de 15° et de 75°. Etes-vous intéressé ? Voici comment faire ; A vos calculatrices ! Dessinez un triangle ABC, avec un angle A égal à 30° et les deux angles de la base égaux à 75°. Menez alors la perpendiculaire BD sur C.A. (voyez le dessin à droite). Par symétrie, les côtés AB et C.A. sont de même longueur, que l'on note par la lettre a. Le triangle ABD possède des angles de 90, 60 et 30 degrés, que nous avons évalués précédemment. Nous obtenons : BD = a sin 30° = 0.5 a Alors DC = AC - AD = a - 0.866025 a = 0.133975 a  Regardez maintenant le triangle BDC : ses deux plus grands angles égalent 90° et 75°, et l'angle restant est égal à 15°. En utilisant le théorème de Pythagore, si le grand côté est noté c :
BD2 + CD2 = c2 = (0.5 a)2 + (0.133975 a)2 Extraction de la racine carrée : c = 0.517638 a Avec 5 décimales (et en impliquant aussi l'angle complémentaire de 75°) sin 15° = 0.133975/0.517638 = 0.25882 = cos 75° Maintenant tracez votre graphique ! |
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