Si può quindi dire che "x rappresenta la quantità incognita". L'idea di fondo dell' algebra è molto semplice:

L'incognita x è un numero come un altro. Si può aggiungere, sottrarre, dividere o moltiplicare allo stesso modo dei normali numeri.

Una relazione matematica che contiene numeri noti (come 25 o 40) e numeri incogniti (come x) è conosciuta come un' equazione. Spesso x non viene espressa in modo esplicito come sopra, ma è sepolta all'interno di qualche espressione complicata. Per ottenere una soluzione, si deve sostituire l'equazione data (o le equazioni) con altre, contenenti le stesse informazioni ma espresse in forma più chiara. L'obiettivo finale è quello di isolare l'incognita, di metterla da parte (da "isola", in Italiano), per portare l'equazione alla forma di cui sopra, vale a dire

x = (espressione contenente solo numeri noti)

Una volta che quella forma viene raggiunta, il numero che x rappresenta può essere calcolato rapidamente.

Per esempio:

"Qual è il numero che, se si raddoppia, quindi si aggiunge 5 e si divide la somma per 3, si ottiene 3?"

Chiamiamo quel numero x. Le informazioni riportate qui a parole possono anche essere scritte in forma di equazione:

(2x + 5)/3 = 3

Le parentesi qui racchiudono quantità trattate come un unico numero, e 2x significa "2 volte x". In algebra, i simboli (o le parentesi) posti uno accanto all'altro si intendono moltiplicati. Se vi atterrete a questa regola, non verrete mai confusi dalla somiglianza tra la lettera x e il segno di moltiplicazione. I programmi per computer, tra l'altro, di solito rappresentano la moltiplicazione con *, messo un pò più in basso che qui.

Data un'equazione e modificati entrambi i suoi lati ("membri") esattamente nello stesso modo, quello che si ottiene è ancora un'equazione valida.

È possibile aggiungere, sottrarre, moltiplicare o dividere qualsiasi numero che si desidera; finché ciò viene fatto allo stesso modo ad entrambi i membri dell' uguaglianza, il risultato è ancora valido. Inoltre, la nuova equazione contiene ancora le stesse informazioni di prima. (Ma non si moltiplichino entrambi i membri per 0 per ottenere 0 = 0; il risultato è corretto, ma tutte le informazioni ora sono svanite nel nulla.)

Ad esempio, nell'equazione data prima:

(2x + 5)/3 = 3

Si moltiplichino entrambi i membri per 3:

(2x + 5) = 9

Si sottragga 5 da entrambi i membri:

2x = 9 – 5 = 4

Si dividano entrambi i membri per 2:

x = 4/2 = 2

e si avrà il risultato, x = 2. L'algebra delle scuole superiori contiene molto di più, ma le semplici regole di cui sopra, più l'obiettivo principale di "isolare l'incognita", vi permetteranno di andare molto lontano.

Frequentemente si salta un ultimo passaggio, ma non si dovrebbe. Giusto per essere sicuri di non aver commesso un errore per strada, si prenda l'equazione originale

si sostituisca in essa l'incognita x con il valore calcolato--in questo caso, con il numero 2--e si verifichi se i due membri sono davvero uguali. Se lo sono, si può essere certi che la risposta è corretta.

Un terzo elemento è la sostituzione:

Sapendo che una quantità o un'espressione incognita può essere espressa in modo diverso, si può sostituire al suo posto la maniera alternativa di esprimerla. Questo dà una nuova equazione, che talvolta porta alla soluzione.

 Si supponga di avere due incognite, x e y, e due equazioni che le collegano (due sono necessarie per ottenere un'unica soluzione--con una soltanto, esiste un numero infinito di coppie di x e y che la soddisfa):

Si sottragga 2y da entrambi i membri di (1):

e si sostituisca questo al posto di x in (2)

Come prova finale, si sostituiscano x=1, y=3 nelle equazioni (1) e (2) e ci si assicuri che queste soluzioni sono davvero quelle cercate. Se non lo sono probabilmente è stato commesso un errore da qualche parte lungo la strada.

Un altro tipo di sostituzione, cioè la sostituzione di intere equazioni, viene posticipata alla fine della sezione (M-3), che riguarda le formule.