(M–1a) Esercizi di Algebra

La sezione (M-1) vi ha dato i principi dell'algebra semplice. Questi esercizi vi daranno la pratica nella loro applicazione.

Non aspettatevi nulla di profondo o interessante--questa è solo una esercitazione, come gli esercizi che fate per le dita se volete padroneggiare uno strumento musicale, o la pratica del parcheggio parallelo prima dell'esame di guida. Fateli tutti--non tralasciatene nessuno!

(1) Isolate x in ogni equazione e trovate il suo valore, seguendo la
regola che "quando le stesse operazioni vengono eseguite su entrambi
i membri di un'equazione, il risultato è ancora lo stesso".

A destra di ogni problema vi sono delle istruzioni per risolverlo, un elenco delle operazioni richieste. La sequenza in cui vengono eseguite si legge da sinistra a destra. Scrivete una nuova equazione per ogni passaggio.

La notazione delle istruzioni è la seguente. Per operazioni eseguite ad entrambi i membri:

Per le altre operazioni:

Nota: Non tutte le equazioni hanno un'unica soluzione. Alcune possono essere identità, per es. 2(x+1) = 2x + 2, che valgono per ogni valore di x. Alcune possono essere false identità, per es. 2(x+1) = 2x + 3, valide per nessun valore, perché si riducono alla condizione impossibile 2 = 3.

5+x = 7	(–5)
x/2 = 3	(*2)
x/3 + 4 = 8	(–4)(*3)
4x – 5 = 15	(+5)(/4)
3x + 6 = 5x	(–3x)(/2)
6x + 4 = 1.5x + 13	(–1.5x)( –4)(/4.5)
15x – 2 = 6x + 16	(–6x)(+2)(/9)
21x – 3 = (7x+9)/2	(*2)(–7x)(/5)(/3)

Da notare che la moltiplicazione per (-1) inverte tutti i segni ad entrambi i membri!


10 – 3x = –2	(–10)(*( –1))(/3)
1/(x+1) = 2/(x+3)	((x+1))((x+3)(*)( –x)( –2)
(x+2)(x+1) = (x+7)(x–1)	()(+/–)( –x2)( –2)( –6x)(( –1)(/3)

(2) Lo stesso tipo di equazioni, ma ora senza istruzioni:

7 + 2x = 13
15 + 7x = 1
4x – 3 = 2x
5x – 3 = 1 – 2x

(x/2)+5 = (x/3)+6
5x – 20 = x+8
(x+6)/2 = 2x – 21
(2x–3)/(4x–3) = 1

2/(3–x) + 1/(2+x) = 0
(x+10)/(3x+5) = 2
(11x+1)/(6x–2) = 2
(x+2)(x+3) = (x+1)(x+7)

(3) C'è qualcosa di sbagliato in queste equazioni? E se sì, cosa?

(15x–5)/(3x–1) = 5
4(3x–5) = 2(6x+7)
5(x–3) = 7x – 15

(4) Le relazioni di seguito contengono tutte sia x che y :
Esprimete y in termini di x, per esempio

x + y = 7 Risposta: y = 7 – x

Tutte le operazioni sono indicate come prima, ma attenzione:
i problemi includono un esempio mal posto.


2x + 3y = 7	(–2x)(/3)
(3y+1)/(x+2) = –2	(*(x+2))( –1)(/3)
(4x – 5y –2) = 13	(+2)( –4x)(* –1)(/5)
(3y + x + 6)/(y–x+2) = 2	(*(y–x+2)) ( –2y)( –x)( –6)
(y–4x)/(y+x+6) = 1	((y+x+6))( –y)( –x)(( –1))(/5)
(15x–2y+6) = (y–6)	(–y)( –15x)( –6)(*(–1))(/3)

(5) Qui di seguito ci sono coppie di equazioni che contengono due incognite, x e y.

Risolvete ciascun insieme di equazioni due volte. Una volta risolvetelo

Poi risolvetelo di nuovo scambiando i ruoli--esplicitate la x in una equazione, sostituite l'espressione così ottenuta per x nell'altra equazione, ricavate y, quindi ricavate anche la x.


(a)	x+3y = 5	2x – y = 3
(b)	x+y = –1	3x+4y = 2
(c)	x+34 = 15	3x+y = 5

(6) Date due equazioni, indicate qui I e II, è possibile anche

moltiplicare o dividere ogni equazione per qualsiasi numero. Si può inoltre aggiungere una equazione all'altra, o sottrarla: siccome le quantità che si aggiungono o tolgono ad entrambi i membri sono uguali, ciò che resta è anch'essa una uguaglianza valida.

Ecco alcuni esempi--il primo viene sviluppato, per i restanti sono forniti solo i passaggi. In questa notazione, II indica sempre la seconda equazione di questa fase del calcolo--non deve essere per forza la 2a equazione originale ma potrebbe essere quella (diciamo) moltiplicata per 6. Se le istruzioni richiamano soltanto un'operazione, questa va eseguita sull'equazione ottenuta nel passaggio precedente.

5x – 12y = 2 (I)
–3x + 2y = 4 (II)

(II*6)
–18x + 12y = 24
(I+II)
5x – 18x = 26 (12y e –12y si eliminano)
(+)
–13x = 26
(*(–1))
13x = –26
(/13)
x = –2
Per trovare y, lo si sostituisca in (I)

–10 – 12y = 2
–12y = 12
12y = –12
y = –1

Per verificare il risultato, controllare se anche (II) è valida

(–3)( –2) + 2(–1) = 4? (4 = 4, risultato OK)

Di seguito, vengono indicati solo i passaggi per ottenere una variabile. Da soli, ricavate anche l'altra variabile e verificate il risultato.


(a)	3x+4y = 19 (I)	5x + 2y = 13 (II)	(II*2)(II – I)(/7)
(b)	2x+3y = 5 (I)	3x+2y = 0 (II)	(I3)(II2)(I–II)(/5)
(c)	4x+3y = 16 (I)	3x+5y = 12 (II)	(I3)(II4)(II–1)(/11)
(d)	2x+6y = 34 (I)	5x+2y = 46 (II)	(II*3)(II–1)(/13)
(e)	3x+5y = 31 (I)	2x–3y = 11 (II)	(I2)(II3)(I–II)(/19)

(7) Ora risolvete da soli:


(a)	2x–3y = 1 (I)	3x+2y = 21 (II)
(b)	5x–2y = 20 (I)	10x + 3y = 5 (II)
(c)	6x + 2y = 8 (I)	5x + 4y = 16 (II)
(d)	3x – 4y = 1 (I)	2x + 3y = –5 (II)

(8) Le due scale più largamente utilizzate per la misura della temperatura sono quelle introdotte da Farenheit (utilizzata negli Stati Uniti) e da Celsius (la scala centigrada, utilizzata nel resto del mondo e dagli scienziati).

(a)

F = x C + y

Si trovino x e y, dato che 100 gradi centigradi (punto di ebollizione dell'acqua) corrispondono a 212 gradi Farenheit, e 0 gradi centigradi (punto di congelamento dell'acqua) corrisponde a 32 gradi Farenheit.

(b) Utilizzando la soluzione di (a)--a quale temperatura C = F?

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Autore e Curatore: Dr. David P. Stern
Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):
stargaze("chiocciola")phy6.org

Traduzione in lingua italiana di Pietro Sauro

Aggiornato al 25 Novembre 2001

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