Note: Questo calcolo è adatto agli utenti con ottime conoscenze di algebra e di trigonometria. È un calcolo più lungo, più noioso e un po' più intricato degli altri calcoli del sito "Dagli astronomi...". Se intendete studiarlo, può essere una buona idea stampare questa sezione su carta, per seguire bene i vari passaggi.
    Un altro metodo di calcolo -- più breve, più elegante e più generale, ma che usa i vettori e la rotazione dei sistemi di riferimento -- viene presentato nella sezione (34c).

Gli altri due punti lagrangiani, L4 e L5, giacciono sull'orbita della Terra, e le linee che li congiungono al Sole formano angoli di 60° con la linea Terra-Sole. In questi punti, un calcolo basato sui due corpi Terra e Sole predice ancora uno stato stazionario (cioè di equilibrio in un sistema di riferimento che ruoti insieme alla Terra). Anche qui, tuttavia, L4 e L5 sono così lontani che, per un calcolo realistico del moto di un'astronave posizionata nelle loro vicinanze, occorre includere l'attrazione di altri pianeti.

Inoltre, anche il sistema Terra-Luna ha i suoi punti L4 e L5, e tali punti sono stati presi in considerazione come possibili posizioni in cui collocare osservatori e "colonie spaziali" autosufficienti.

Essi hanno una importante proprietà (che non verrà qui dimostrata): che sono stabili. Al contrario, l'equilibrio nei punti L1 e L2 è instabile, come quello di una piccola biglia posta sopra una grossa sfera. Se viene posizionata esattamente sulla sommità della sfera, la biglia resta ferma, ma il minimo urto la farà allontanare sempre di più dalla sua posizione di equilibrio, finché cadrà giù. Diversamente, l'equilibrio in L4 e in L5 corrisponde a quello di una biglia posta in fondo a una scodella sferica: se riceve una piccola spinta, rotolerà di nuovo nella sua posizione iniziale. Perciò un'astronave in L4 o in L5 non tende ad allontanarsi dalla sua posizione, mentre se si trovasse in L1 o in L2 sarebbe necessario dotarla di piccoli razzi per riportarla di tanto in tanto nella sua posizione di equilibrio.

Mostreremo ora che i punti L4 e L5 del sistema Terra-Luna sono posizioni di equilibrio in un sistema di riferimento che ruota con la Luna, supponendo che l'orbita lunare sia circolare. Orbite non circolari e il problema della stabilità sono argomenti che esulano dalla presente trattazione.

Gli strumenti di calcolo

1.   Ci occorre la legge della gravitazione di Newton e il fatto che il centro dell'orbita lunare si trova solo approssimativamente nel centro della Terra. Il centro effettivo dell'orbita è il centro di massa (o "centro di gravità" o "baricentro") del sistema Terra-Luna (ved. la fine della sezione 11).

   Come è mostrato nella sezione 25, se m è la massa della Luna e M quella della Terra, il centro di massa è il punto che divide la congiungente Terra-Luna con un rapporto m:M. Sia A in centro della Terra, B quello della Luna, e c la distanza tra i due (ved. figura). Allora, se D è il baricentro,

   AD = cm/(m+M) DB = cM/(m+M)

   ed è facile verificare che la somma di queste due distanze è uguale a c e che il loro rapporto è m/M. Una forma alternativa di DB (che sarà utile in seguito) si ottiene dividendo numeratore e denominatore per M:

   DB = c/(1 + m/M)

2.   Dalla trigonometria utilizzeremo il "teorema dei seni". Supponiamo di avere un triangolo ABC di dimensioni e forma arbitrarie (ved. figura). Gli angoli nei tre vertici saranno indicati con A, B e C, mentre le lunghezze dei lati opposti a ciascuno dei vertici saranno indicate con a, b e c. Allora il teorema dei seni afferma
   sinA/a = sinB/b = sinC/c

   Dimostriamolo per gli angoli A e B, conducendo dal vertice C il segmento perpendicolare al lato del triangolo opposto a quel vertice. Sia h la lunghezza di tale segmento. Allora

   sinA = h/ b          b sinA = h
   sinB = h/ a          a sinB = h
   
   Da cui
   

   b sinA = a sinB

   e dividendo entrambi i membri per ab si ottiene il risultato richiesto. Per dimostrare che anche l'angolo C soddisfa questa condizione, ripetiamo il calcolo conducendo il segmento perpendicolare dal vertice A o dal vertice B.

3.   Ci occorre anche l'identità trigonometrica per il seno della somma di due angoli. Se indichiamo i due angoli con le lettere greche α e β
   sin(α + β) = sinα cosβ+ cosα sinβ

   La dimostrazione di questa identità viene data separatamente.

4.   Infine utilizzeremo le regole di scomposizione dei vettori (ved. la sezione 14). Supponiamo che una forza F agisca su un oggetto posto nel punto C, formando un angolo α con la direzione di una data linea, indicata qui con R (ved. figura). Supponiamo anche di dover scomporre F nelle due componenti parallela e perpendicolare a R. Nel triangolo CPQ, se CP rappresenta la forza F, allora CQ e QP rappresentano le sue componenti parallela e perpendicolare. Quindi, poiché
   sin α = QC/CP cos α = QP/CP otteniamo forza parallela = CQ = F sinα forza perpend. = QP = F cosα

Le condizioni di equilibrio

Indichiamo inoltre con (α,β) le due parti in cui R divide l'angolo C.  Verificare tutto questo prima di andare avanti.

La domanda a cui dobbiamo rispondere è: Sotto quali condizioni l'astronave nel punto C mantiene fissa la sua posizione rispetto alla Terra e la Luna?

Per svolgere meglio il calcolo, è opportuno considerare un sistema di riferimento che ruoti con la Luna. In tale riferimento, se un satellite nel punto C è in equilibrio, esso manterrà sempre la stessa distanza sia dalla Terra che dalla Luna. Il centro di rotazione è il punto D (anche la Terra vi ruota intorno) e, se l'astronave in C è in equilibrio, tutti e tre i corpi avranno lo stesso periodo orbitale T. Se C è immobile nel sistema di riferimento rotante, non esisterà una forza di Coriolis (che agisce soltanto su oggetti che si muovano rispetto a un tale sistema di riferimento), ma l'astronave sarà soggetta a una forza centrifuga, come la Luna e la Terra.

Raccogliamo ora le equazioni

(1) Notiamo dapprima che il raggio di rotazione R dell'astronave sarà
    in genere diverso da quello della Luna, che è c/(1 + m/M)

Indicando la velocità di rotazione della Luna con V e quella dell'astronave con v, poiché   distanza = velocità × tempo

Le due espressioni sono entrambe uguali a 2π/ T e devono quindi essere uguali tra loro, per cui

          (1)                   v/R = (V/c)(1 + m/M)

Questo esprime semplicemente la ben nota osservazione che, se due oggetti ruotano solidalmente, quello più lontano dall'asse si muoverà più velocemente, e le loro velocità saranno proporzionali alle loro distanze dall'asse di rotazione.

          (2)                     GM/c = V² (1 + m/M)

Ora, per la teoria della gravitazione di Newton

Sostituendo questi valori nell'espressione precedente e dividendo entrambi i membri per m' si ottiene la 3^a equazione:

          (3)                   v²/R = (Gm/a²) cosβ + (GM/b²) cosα

          (4)                   (m/a²) sinβ = (M/b²) sinα

Raccogliamo ancora una volta tutte le equazioni:

1.               v/R = (V/c)(1 + m/M)

2.               GM/c = V² (1 + m/M)

3.               v²/R = (Gm/a²) cosβ + (GM/b²) cosα

4.               (m/a²) sinβ = (M/b²) sinα

• --Alcune sono costanti note -- G, m e M. Esse hanno dei valori assegnati e non ci si aspetta che cambino.
• --Alcune sono distanze -- r, a, b e c -- che hanno a che fare con le posizioni nello spazio della Terra, della Luna e dell'astronave. Anche gli angoli (α,β) dipendono da queste distanze, ma non ci occorre l'esatta relazione tra di loro.
• --E alcune sono velocità, cioè v e V.

Avevamo già effettuato una eliminazione precedentemente, nel caso in cui vi erano due equazioni contenenti il periodo orbitale T. Dopo aver risolto entrambe le espressioni rispetto a 2π/T, e uguagliato i secondi membri, avevamo ottenuto un'espressione che non conteneva più T (in un processo di eliminazione, "si rinuncia sempre a una delle due equazioni": si parte con due e si finisce con una sola equazione).

Il procedimento è quindi il seguente. Elimineremo V tra la (1) e la (2), lasciando una equazione contenente soltanto v. Successivamente elimineremo v tra l'equazione ottenuta e la (3), arrivando così ad una equazione che non contiene più le velocità -- oltre alla (4), che neppure contiene né V né v.

Dalla (1), elevando al quadrato entrambi i membri

Moltiplicando ambo i membri per c² e dividendoli per (1 + m/M)

Ma, per la (2)

            (5)               v² (c²/R²) /[1 + m/M] = GM/c

e V è stata eliminata. Adesso moltiplichiamo ambo i membri per (1 + m/M), dividiamoli per c² e moltiplichiamoli poi per R

E quindi (moltiplicando R per il fattore 1/c)

Dividendo tutto per GM si ottiene una delle equazioni desiderate, mentre l'altra è la (4):

(6)       (1/c²) (R/c) (1 + m/M) = (1/a²)(m/M) cosβ+ (1/b²) cos α

(4)           (m/a²) sinβ = (M/b²) sinα 

Piuttosto complicato! Tuttavia già abbiamo dato una sbirciata alla risposta e sospettiamo che le cose andranno bene se il triangolo ABC è equilatero, cioè se tutti i suoi angoli sono di 60° e tutti i suoi lati hanno la stessa lunghezza, che indicheremo con r:

In tal caso, se moltiplichiamo le equazioni precedenti per r², tutti i fattori (1/a²), (1/b²) e (1/c²) spariranno, lasciando

(7)       (R/c)(1 + m/M) = (m/M)cosβ + cosα

(8)           m sinβ= M sinα

Da cui               m/M = sinα/sinβ

Sostituendo questo valore nel secondo membro della (7)

          sin β (R/c)(1 + m/M) = sinαcosβ+ cosαsinβ

                              = sin(α + β) = sin C = sin B

L'ultima relazione deriva dal fatto che tutti e tre gli angoli (A,B,C) sono uguali.
Dividiamo ora entrambi i membri per R, e riscriviamo l'espressione come:

Questa d'altronde non è altro che il legge dei seni applicata al triangolo CDB e quindi è ovviamente soddisfatta. Andando a ritroso da questa relazione, possiamo ora mostrare che tutte le precedenti equazioni, dalla (1) alla (4), sono soddisfatte se il triangolo ABC è equilatero. Pertanto C è un punto di equilibrio nel sistema di riferimento rotante. Se avessimo assunto che il triangolo ABC non fosse equilatero e che le distanze (a,b,c) non fossero uguali, avremmo ottenuto una relazione diversa dalla legge dei seni, e quindi non valida. Perciò tutte le equazioni richieste per l'equilibrio nel punto C non sarebbero soddisfatte.

Home on Lagrange (La casa nel punto di Lagrange)

Oh! Datemi un luogo raccolto
Dove i gravitoni si concentrano
Dove il problema dei tre corpi è risolto
Dove le microonde liete vi entrano
Fino a tre gradi sullo zero assoluto
Così freddo che nessun virus si è evoluto.

CORO:
Oh casa, casa di Lagrange
Dove i detriti spaziali sempre si raccolgono...

Ulteriori approfondimenti:

• Gerald K. O'Neill, "The Colonization of Space" (La colonizzazione dello spazio), Physics Today, Settembre 1974, p. 32.

• Gerard K. O'Neill, "The High Frontier" (L'alta frontiera), William Morrow & Co., NY, 1977; Anchor Books (Doubleday) 1982.

A proposito dei punti L4 e L5, e degli asteroidi bloccati nelle vicinanze dei punti L4 e L5 del sistema Sole-Giove: "When Trojans and Greeks Collide" (Quando i Greci e i Troiani si scontrano); di I. Vorobyov, Quantum, Settembre-Ottobre 1999, p. 16-19. Questo articolo contiene un'altra dimostrazione delle proprietà di equilibrio nei punti L4 e L5, più generale (senza limitazioni di massa) ma che fa uso di sistemi di riferimento rotanti e di vettori bidimensionali. Il calcolo è esposto nella sezione (34-c) di questo sito Web.